Program Linear: Misteri Titik Pojok
Menerjemahkan Cerita ke Angka
Sering pusing lihat soal cerita program linear yang teksnya panjang banget? Kuncinya satu: jangan dibaca sekaligus semua. Kita perlu memecah teks tersebut dan memasukkannya ke dalam "kotak-kotak" tabel yang tepat.
Di soal yang tadi kamu kerjakan, sumber daya yang jumlahnya terbatas di gudang adalah papan dan paku. Jadi, kita fokuskan pikiran kita pada kedua benda tersebut:
Papan: Satu meja butuh 10, satu kursi butuh 5. Total papan di gudang cuma ada 500.
Paku: Satu meja butuh 5, satu kursi butuh 10. Total paku cuma ada 400.
Misalkan $x$ = jumlah meja, dan $y$ = jumlah kursi. Karena persediaan di gudang terbatas, kita nggak mungkin memakai bahan lebih dari yang tersedia. Makanya tanda matematika yang dipakai adalah $\leq$ (kurang dari sama dengan).
Berdasarkan ini, kita punya dua pertidaksamaan utama: $10x + 5y \leq 500$ (disimpan jadi $2x + y \leq 100$) $5x + 10y \leq 400$ (disimpan jadi $x + 2y \leq 80$)
Jangan lupakan syarat wajib: $x \geq 0$ dan $y \geq 0$. Kenapa? Karena di dunia nyata, kamu nggak bisa memproduksi meja atau kursi dalam jumlah negatif (minus)!
Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti: Roti Tawar (x) dan Roti Manis (y). Roti Tawar butuh 2 kg tepung dan 1 kg gula. Roti Manis butuh 1 kg tepung dan 3 kg gula. Persediaan tepung 50 kg dan gula 60 kg. Pengelompokan kendala yang benar adalah...
- A. $2x + y \leq 50$ dan $x + 3y \leq 60$
- B. $2x + x \leq 50$ dan $y + 3y \leq 60$
- C. $2x + 1y \leq 60$ dan $1x + 3y \leq 50$
- D. $x + y \leq 50$ dan $2x + 3y \leq 60$
Jawaban: A. $2x + y \leq 50$ dan $x + 3y \leq 60$
Kendala harus dikelompokkan berdasarkan SUMBER DAYA yang sama. Tepung dengan tepung (2x + 1y <= 50), gula dengan gula (1x + 3y <= 60).
Pengelompokan data pada tabel dan pertidaksamaan harus berdasarkan batasan sumber daya, bukan produk.
Melukis Daerah Kelayakan
Setelah model matematika jadi, saatnya kita pindahkan persamaan tadi menjadi sebuah gambar grafis. Kenapa harus repot-repot digambar? Biar kelihatan jelas area mana yang layak (memenuhi semua syarat) untuk perusahaan beroperasi. Area ini sering disebut daerah penyelesaian (feasible region).
Cara paling gampang untuk menggambar garis batas adalah dengan mencari titik potongnya di sumbu $X$ dan $Y$.
Garis Papan: $2x + y = 100$. Kalau $x=0$, maka $y=100$. Kalau $y=0$, maka $2x=100 \implies x=50$. Garis tinggal ditarik lurus dari titik $(0,100)$ ke $(50,0)$.
Garis Paku: $x + 2y = 80$. Kalau $x=0$, maka $y=40$. Kalau $y=0$, maka $x=80$. Garis ditarik dari titik $(0,40)$ ke $(80,0)$.
Berdasarkan cara menggambar daerah penyelesaian program linear, tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah!
- Daerah penyelesaian adalah gabungan (union) dari semua area yang memenuhi minimal satu kendala. — Salah
- Tanda pertidaksamaan $\leq$ pada kendala persediaan biasanya menghasilkan arsiran yang mendekati titik (0,0). — Benar
Daerah penyelesaian adalah IRISAN (interseksi) yang memenuhi semua kendala sekaligus. Tanda $\leq$ dengan koefisien positif membuat batas arsiran mendekati origin.
Daerah kelayakan (penyelesaian) adalah zona irisan di mana SELURUH kendala bernilai benar.
Mencari Titik Temu (Aljabar)
Kamu mungkin sempat bingung, "Gimana caraku nemuin titik temu kedua garis itu kalau gambarku nggak pakai penggaris presisi?"
Grafik kartesius itu bagus untuk melihat gambaran besarnya (visual), tapi aljabar adalah senjata rahasia untuk menemukan koordinat potong secara super presisi. Titik potong dua garis bukanlah sekadar tebakan dari mata, melainkan satu-satunya titik $(x, y)$ yang membuat kedua garis bernilai benar pada saat yang bersamaan.
Jadi, secara pasti dan akurat, di titik $(40, 20)$ lah kedua garis perbatasan persediaan bahan baku ini "bertabrakan".
Dalam mencari titik potong antara $3x + y = 150$ dan $x + 2y = 100$, apa arti titik potong tersebut dalam grafik daerah penyelesaian?
- A. Titik tengah daerah penyelesaian yang paling optimal
- B. Satu-satunya koordinat $(x,y)$ yang dilalui oleh kedua garis perbatasan tersebut secara bersamaan
- C. Koordinat di mana keuntungan perusahaan mencapai nilai nol
- D. Titik di mana salah satu bahan baku tidak digunakan sama sekali
Jawaban: B. Satu-satunya koordinat $(x,y)$ yang dilalui oleh kedua garis perbatasan tersebut secara bersamaan
Titik potong grafik adalah solusi SPLDV: nilai (x,y) unik yang membuat kedua garis (persamaan) bernilai benar di saat bersamaan.
Titik pertemuan dua garis batas adalah koordinat unik yang memuaskan kedua persamaan linear secara bersamaan.