Menalar Peluang: Kombinasi dan Kasus

Podium vs Tim: Kapan Urutan Itu Penting?

Sebelum masuk ke angka dan rumus di soal lampu LED, kita harus beresin satu jebakan terbesar di materi peluang: kapan kita pakai Permutasi dan kapan pakai Kombinasi?

Bayangkan kamu lagi milih 2 orang dari 5 sahabatmu (Anggap aja namanya A, B, C, D, E).

ilustrasi

Nah, balik ke soal kita: tim Quality Control mengambil 2 lampu sekaligus secara acak.

Coba bayangin kamu merogoh kotak, lalu narik dua lampu berbarengan. Apakah kejadian "Lampu A lalu Lampu B" beda dengan "Lampu B lalu Lampu A"? Jelas nggak. Keduanya toh berakhir ada di telapak tanganmu bersamaan.

Karena kita cuma peduli lampu mana yang terpilih (bukan lampu mana yang terpegang jari telunjuk duluan), kita masuk ke ranah Kombinasi. Kita tidak memperhitungkan urutan.

Dalam sebuah undian *giveaway* Instagram dengan 50 peserta, akan dipilih 3 orang pemenang yang masing-masing mendapatkan voucher belanja Rp100.000. Konsep mana yang tepat untuk menghitung total kemungkinan pemenang?

  • A. Permutasi, karena hadiahnya bisa saja berbeda untuk tiap pemenang.
  • B. Kombinasi, karena tiga pemenang tersebut mendapat hadiah yang sama persis tanpa peringkat.
  • C. Kombinasi, karena jumlah pesertanya lebih dari 10 orang.
  • D. Permutasi, karena orang yang terpilih pertama pasti merasa lebih senang.

Jawaban: B. Kombinasi, karena tiga pemenang tersebut mendapat hadiah yang sama persis tanpa peringkat.

Karena ketiga pemenang mendapatkan voucher yang sama tanpa adanya peringkat 1, 2, dan 3, maka urutan siapa yang terpilih lebih dulu tidak penting (A-B-C sama dengan C-B-A). Ini adalah kasus Kombinasi.

Kombinasi digunakan saat urutan objek yang dipilih tidak mempengaruhi hasil akhir, sedangkan permutasi digunakan saat posisi/urutan menciptakan hasil yang berbeda.

Misteri di Balik Rumus Kombinasi

Kamu mungkin ingat dari pembahasan kalau total cara mengambil 2 lampu dari 20 adalah menggunakan $C(20, 2) = 190$. Rumusnya: $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

Tapi dari mana asalnya pembagi $r!$ di bawah sana? Kenapa kita nggak murni pakai rumus Permutasi $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$?

Mari kita bongkar logikanya. Bayangkan kita punya 3 barang: A, B, C dan mau ambil 2. Kalau kita pakai Permutasi (menganggap urutan penting), kita punya 6 cara ($3!/(3-2)!$):

Tapi, karena dalam Kombinasi AB itu sama dengan BA, kita sebenarnya sedang "menghitung ganda". Setiap kelompok 2 huruf ternyata bisa disusun ulang dalam $2!$ (atau 2) cara.

Biar nggak ada duplikat, kita harus mengelompokkan yang isinya sama, lalu membaginya dengan jumlah cara menyusun huruf di tiap kelompok tersebut. Jumlah cara menyusun $r$ barang yang sudah terpilih adalah $r!$.

Jadi, rumus Kombinasi hanyalah:

Itulah alasan kenapa di rumus mengambil 2 lampu dari 20, kita membagi lagi dengan $2!$. Angka $2!$ itu bertugas sebagai algojo yang membuang semua kejadian "Lampu B-A" karena sudah terwakili oleh "Lampu A-B".

Berdasarkan logika yang baru saja kita bahas, apa peran krusial dari membagi dengan r! pada rumus Kombinasi?

  • A. Karena kita tidak jadi mengambil r barang dari himpunan n.
  • B. Untuk membedakan bahwa barang yang dipilih memiliki posisi yang berbeda-beda.
  • C. Untuk membuang hitungan ganda, karena r barang yang sudah terpilih bisa disusun ulang sebanyak r! cara yang dianggap sama.
  • D. Sebagai koreksi karena n! terlalu besar untuk dihitung secara manual.

Jawaban: C. Untuk membuang hitungan ganda, karena r barang yang sudah terpilih bisa disusun ulang sebanyak r! cara yang dianggap sama.

Setiap kelompok berukuran r dapat disusun ulang sebanyak r! cara. Dalam kombinasi, semua susunan ulang tersebut dihitung sebagai satu kesatuan. Oleh karena itu, kita membagi total permutasi dengan r! untuk membuang duplikatnya.

Faktor pembagi r! dalam rumus kombinasi berfungsi untuk menghilangkan perhitungan ganda yang terjadi akibat penyusunan ulang objek-objek yang sama.

Pohon Kasus: Menghitung "Minimal 1 Cacat" Secara Langsung

Di soal, kita diminta mencari peluang mengambil "minimal 1 lampu cacat" dari total 2 lampu yang diambil. Banyak siswa bingung saat membagi kasus. Kalau kita tidak ingin pakai jalan pintas (komplemen), gimana sih cara merinci kemungkinan ini?

Mari kita petakan isi kotak pengiriman:

Saat kita mengambil 2 lampu sekaligus, apa saja kejadian yang mungkin terjadi? Ruang semesta kita sebenarnya hanya terbagi jadi 3 cabang (kasus):

  1. Dapat 2 Baik, 0 Cacat (Sial buat yang nyari cacat, bagus buat pabrik)

  2. Dapat 1 Baik, 1 Cacat (Sebagian bagus, sebagian jelek)

  3. Dapat 0 Baik, 2 Cacat (Wah, cacat semua)

Nah, frase "minimal 1 lampu cacat" berarti yang kita cari adalah cabang ke-2 ATAU cabang ke-3!

Kalau kamu hitung manual cara di atas, hasilnya akan persis $\frac{7}{19}$.

Metode hitung langsung ini memaksa kita mendaftar semua sub-kasus yang memenuhi syarat. Sangat logis, tapi... bayangkan kalau kita ngambil 5 lampu dan ditanya "minimal 1 cacat". Kamu harus menghitung kasus (1 cacat), (2 cacat), (3 cacat), dan (4 cacat). Ribet, kan?

Misalkan aturan diubah: kamu sekarang mengambil 3 lampu sekaligus. Kamu diminta mencari peluang terambilnya 'MINIMAL 2 lampu cacat'. Jika kamu menggunakan metode hitung langsung, manakah dari kejadian berikut yang akan kamu jumlahkan peluangnya?

  • Kejadian '2 Baik, 1 Cacat' masuk ke dalam kasus yang harus dihitung.
  • Kejadian '1 Baik, 2 Cacat' masuk ke dalam kasus yang harus dihitung.
  • Kejadian '0 Baik, 3 Cacat' masuk ke dalam kasus yang harus dihitung.

Jawaban: Kejadian '1 Baik, 2 Cacat' masuk ke dalam kasus yang harus dihitung.; Kejadian '0 Baik, 3 Cacat' masuk ke dalam kasus yang harus dihitung.

'Minimal 2 lampu cacat' berarti kita harus mendata semua kasus dari 2 cacat hingga maksimal batas pengambilan (3 lampu). Jadi kasusnya adalah (1 Baik, 2 Cacat) dan (0 Baik, 3 Cacat). Kasus (2 Baik, 1 Cacat) hanya memiliki 1 lampu cacat, sehingga tidak memenuhi syarat 'minimal 2'.

Menghitung peluang kejadian 'minimal x' secara langsung dilakukan dengan menjumlahkan semua kasus di mana kejadian tersebut muncul setidaknya x kali hingga jumlah maksimal.