Nilai Maksimum di Persamaan Lingkaran

Jebakan Angka Nyaman

Saat melihat persamaan $x^2 + y^2 = 25$, insting pertama kita mungkin mencari angka bulat yang pas. Angka $x = 5$ dan $y = 0$ sering jadi favorit karena $5^2 + 0^2 = 25$. Kalau kita jumlahkan, $x + y = 5 + 0 = 5$. Angka 5 jelas lebih kecil dari 7.

Tapi tunggu dulu. Di sinilah jebakan angka nyaman sering terjadi. Menyimpulkan nilai tertinggi hanya dari satu atau dua contoh mudah itu mirip seperti mengukur dua orang pertama di kelas lalu bilang "kayaknya tinggi maksimal di sini cuma 160 cm deh", padahal masih banyak orang lain yang belum diukur!

Coba kita tes angka bulat lainnya yang terkenal: $x = 3$ dan $y = 4$. Keduanya memenuhi syarat $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Berapa jumlahnya? $x + y = 3 + 4 = 7$.

Nah, ternyata jumlahnya bisa mencapai angka 7 persis! Pertanyaan krusialnya sekarang: Apakah angka 7 ini sudah mentok, atau masih bisa digeser sedikit biar jumlahnya lebih besar dari 7?

Berdasarkan eksplorasi kita sejauh ini, apa bahaya terbesar jika kita langsung menjawab P < Q setelah mencoba x=5 dan y=0?

  • Nilai x+y maksimal selalu sama dengan jari-jari lingkaran.
  • Jika kita menemukan satu pasangan x+y yang bernilai kurang dari 7, maka jawabannya pasti P < Q.
  • Kita tidak bisa menyimpulkan hubungan pasti jika belum mencari semua kemungkinan nilai ekstrem (maksimum) dari x+y.
  • x dan y pada bentuk kuadrat pasti selalu berupa bilangan bulat positif.

Jawaban: Kita tidak bisa menyimpulkan hubungan pasti jika belum mencari semua kemungkinan nilai ekstrem (maksimum) dari x+y.

Hanya dengan satu kasus angka (misal 5 dan 0), kita belum bisa memastikan nilai tertingginya. Harus dicari nilai maksimum sesungguhnya.

Menyadari bahwa satu contoh kasus tidak cukup untuk menyimpulkan batas maksimum suatu persamaan.

Trik Maksimalkan Jumlah: Bagi Rata

Untuk tahu apakah nilai maksimal $x + y$ bisa menembus angka 7, kita butuh trik aljabar praktis. Daripada menebak-nebak desimal secara acak, ingat satu "aturan emas" ini: Pada batasan bentuk kuadrat simetris (seperti lingkaran), nilai penjumlahan dua variabel akan mencapai puncaknya saat nilainya seimbang (dibagi rata).

Kenapa bisa begitu? Bayangkan keliling sebuah lapangan. Kalau kamu dikasih tali sepanjang batas tertentu dan disuruh bikin segi empat seluas mungkin, bentuk yang paling maksimal selalu berbentuk persegi panjang yang sisi-sisinya sama, yaitu bujur sangkar. Di aljabar, prinsip "keseimbangan" ini juga berlaku.

Jadi, untuk memaksimalkan jumlah $x + y$ dengan syarat $x^2 + y^2 = 25$, atur saja supaya nilai $x$ sama dengan $y$ ($x = y$).

Mari kita hitung titik puncaknya. Jika $x = y$, kita masukkan kembali ke persamaan aslinya:

  1. $x^2 + x^2 = 25$

  2. $2x^2 = 25$

  3. $x^2 = 12,5$

Artinya, nilai $x$ adalah $\sqrt{12,5}$ dan nilai $y$ juga $\sqrt{12,5}$. Pada titik ini, penjumlahan $x + y$ mencapai puncaknya (nilai ekstrem maksimum).

Tentukan kebenaran pernyataan berikut terkait prinsip keseimbangan dalam mencari nilai maksimal!

  • Nilai x+y pada persamaan x²+y²=C akan mencapai nilai terbesarnya ketika x = y. — Benar
  • Memilih salah satu variabel sebesar mungkin (seperti x=5 dan y=0) adalah cara terbaik untuk memaksimalkan jumlah x+y. — Salah

Jumlah terbesar dari variabel yang kuadratnya dibatasi dicapai saat nilainya sama besar. Saat satu variabel dipaksa jauh lebih besar, total jumlahnya malah mengecil.

Penjumlahan fungsi simetris berbatas kuadrat mencapai batas maksimal saat nilai variabelnya berimbang (x=y).

Mengecek Puncak Tanpa Kalkulator

Kita sudah menemukan bahwa nilai maksimal dari $x + y$ terjadi saat $x = \sqrt{12,5}$ dan $y = \sqrt{12,5}$. Totalnya berarti: Maksimum $P$ = $\sqrt{12,5} + \sqrt{12,5} = 2\sqrt{12,5}$.

Tapi bagaimana kita membandingkan angka $2\sqrt{12,5}$ ini dengan angka 7 tanpa menggunakan kalkulator?

Caranya mudah, kita manipulasi sedikit bentuk akarnya. Untuk "memasukkan" angka 2 yang ada di depan akar ke dalam akar, kita harus mengkuadratkannya terlebih dahulu. Angka 2 kalau dikuadratkan adalah 4. Maka kita bisa menuliskannya ke dalam akar: $2\sqrt{12,5} = \sqrt{4 \times 12,5}$ $2\sqrt{12,5} = \sqrt{50}$

Sekarang, kita harus membandingkan $\sqrt{50}$ dengan $Q$, yang mana nilainya adalah 7. Karena $7$ sama dengan $\sqrt{49}$, kita langsung tahu bahwa: $\sqrt{50} > \sqrt{49}$

Artinya, nilai maksimal dari $P$ adalah $\sqrt{50}$, yang terbukti lebih besar dari angka 7!

Dengan menggunakan trik yang sama, bentuk $\sqrt{...}$ dari angka $5\sqrt{3}$ adalah...

  • \sqrt{27}
  • \sqrt{75}
  • \sqrt{15}
  • \sqrt{30}

Jawaban: \sqrt{75}

Masukkan angka 5 ke dalam akar dengan mengkuadratkannya jadi 25. Maka $5\sqrt{3} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{75}$.

Memanipulasi dan membandingkan bentuk akar dan angka bulat dengan mengkuadratkannya.