Pemodelan Pecahan & Rasio Bertingkat

Peta Jalan Hasil Panen

Memecah cerita panjang menjadi pos-pos kecil secara berurutan memudahkan pembuatan model matematika.

Ilustrasi seseorang memegang segepok uang gajian dengan beberapa amplop anggaran di depannya.

Melihat soal cerita yang panjang sering kali membuat kita tergoda memikirkan seluruh hitungan sekaligus di kepala. Bayangkan seluruh hasil panen seperti gaji bulanan yang baru saja kamu terima: kamu tidak langsung menghabiskan semuanya dalam satu transaksi, melainkan menyisihkannya ke dalam amplop-amplop rencana pengeluaran yang teratur.

Dalam pemodelan matematis, setiap alokasi memiliki aturan main tersendiri yang perlu kita lacak secara berurutan:

Pengeluaran dari total: Ada pos yang langsung dipotong dari total awal, seperti bagian yang dijual ke tengkulak ($\frac{1}{4}$ bagian) dan zakat ($0{,}3$ atau $\frac{3}{10}$ bagian).
Pengeluaran bersyarat: Ada pos yang baru dihitung setelah potongan tertentu terjadi. Bagian yang disimpan di lumbung diambil sebanyak $20\%$ bukan dari total, melainkan dari sisa hasil panen setelah penjualan tengkulak.
Pembagian akhir berbasis perbandingan: Uang sisa di amplop terakhir dibagi lagi ke dua keperluan berbeda (bibit dan pakan ternak) menggunakan rasio $2 : 1$.

Sebagai gambaran intuitif, jika seluruh gaji diibaratkan bernilai $100$ bagian utuh, kita tidak bisa langsung mengurangkan $20$ bagian untuk tabungan sebelum tahu berapa bagian yang tersisa dari pos pertama. Menyusun alur pos demi pos seperti ini menjaga logika berpikir kita tetap rapi sebelum menuliskan persamaan aljabar apa pun.

Jebakan Kata 'Dari Sisa'

Menghitung persentase 'dari sisa' berarti harus mengalikan persentase tersebut dengan nilai yang tersisa, bukan dengan total awal.

Sekarang, mari kita simbolkan total panen awal dengan variabel $x$. Pada pos pertama, alokasi yang dijual langsung ke tengkulak adalah $\frac{1}{4}$ bagian dari total awal, yang berarti:

$$\text{Bagian tengkulak} = \frac{1}{4}x$$

Setelah pos ini diambil, sisa hasil panen di lumbung bukanlah $x$ utuh lagi, melainkan:

$$x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$$

Diagram batang bertingkat yang mengilustrasikan pembagian total panen dan pengambilan porsi dari sisa.

Di sinilah letak titik kritisnya. Soal menyatakan bahwa $20\%$ disimpan di lumbung dari sisa panen tersebut. Karena $20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$, model matematikanya bukanlah $\frac{1}{5}x$, melainkan $\frac{1}{5}$ dikalikan sisa:

$$\text{Bagian lumbung} = \frac{1}{5} \times \frac{3}{4}x = \frac{3}{20}x$$

Jika seorang siswa keliru membaca kata 'dari sisa' dan menganggap lumbung mengambil $\frac{1}{5}$ langsung dari total awal, atau salah saat menyamakan penyebut dan mengurangkannya dari $x$, nilai alokasi yang diperoleh akan meleset ke angka seperti pada Opsi B atau Opsi D. Memperhatikan basis acuan perkalian adalah pembeda antara jawaban benar dan jebakan umum.

Ibu memiliki sebuah kue utuh. Adik memakan 1/3 bagian dari kue tersebut. Kemudian, Kakak memakan 1/2 bagian dari sisa kue yang ada. Berapa porsi kue yang dimakan oleh Kakak jika dihitung dari total kue awal Ibu?

1/2 bagian
1/3 bagian
1/6 bagian
2/3 bagian

Jawaban: 1/3 bagian

Kue awal bernilai 1. Setelah Adik memakan 1/3 kue, sisa kue Ibu adalah 1 - 1/3 = 2/3 bagian. Kakak memakan 1/2 'dari sisa' tersebut, sehingga bagian Kakak dari total kue awal adalah 1/2 * 2/3 = 1/3 bagian. Opsi A keliru karena mengabaikan kata 'dari sisa' (mengira 1/2 dari total awal). Opsi C keliru mengalikan 1/2 dengan bagian Adik (1/3). Opsi D adalah sisa kue setelah Adik makan, bukan porsi yang dimakan Kakak.

Membedakan operasi hitung pecahan dari total dan dari sisa.

Rasio Bukanlah Pecahan

Rasio $A : B$ berarti pihak $A$ mendapat $\frac{A}{A+B}$ bagian dari total keseluruhan kelompok tersebut.

Setelah menyelesaikan pos tengkulak dan lumbung, Pak Budi menyisihkan zakat sebesar $0{,}3$ dari total awal, yaitu $\frac{3}{10}x$. Mari kita hitung total alokasi yang sudah dikeluarkan dengan menyamakan penyebutnya ke $20$:

$$\text{Total alokasi} = \frac{1}{4}x + \frac{3}{20}x + \frac{3}{10}x = \frac{5}{20}x + \frac{3}{20}x + \frac{6}{20}x = \frac{14}{20}x = \frac{7}{10}x$$

Dengan demikian, sisa hasil panen akhir yang belum dialokasikan adalah:

$$x - \frac{7}{10}x = \frac{3}{10}x$$

Diagram pembagian balok sisa akhir menjadi tiga bagian dengan rasio 2 banding 1 untuk bibit dan pakan.

Sisa $\frac{3}{10}x$ ini dibagi untuk bibit dan pakan ternak dengan rasio $2 : 1$. Ini artinya, dari setiap $2$ bagian bibit, terdapat $1$ bagian pakan ternak, sehingga total sisa tersebut terbagi menjadi $2 + 1 = 3$ bagian sama besar. Porsi bibit adalah $2$ bagian dari total $3$ bagian, alias $\frac{2}{3}$ dari sisa tersebut.

Di sinilah letak dua jebakan besar pada opsi lain:

Mengira rasio $2 : 1$ berarti "dibagi dua" ($\frac{1}{2}$ bagian). Perhitungan yang memakai $\frac{1}{2} \times \frac{3}{10}x = 900$ akan menghasilkan $x = 6.000\text{ kg}$, persis seperti jebakan pada Opsi E.
Mengabaikan pembagian rasio sama sekali dan menganggap seluruh sisa $\frac{3}{10}x$ adalah bibit. Perhitungan $\frac{3}{10}x = 900$ akan menghasilkan $x = 3.000\text{ kg}$, persis seperti jebakan pada Opsi A.

Model matematis porsi bibit yang tepat adalah:

$$\text{Bagian bibit} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{10}x = \frac{1}{5}x$$