Geometri Berpotongan: Garis Bantu & Akar

Memecah Ukuran Segmen

Langkah pertama merapikan bentuk geometri rumit adalah melengkapi panjang semua segmen garis dasar yang diketahui. Menemukan jalur di kota yang padat sering kali terasa membingungkan karena jalan-jalan saling bersilangan. Sebelum menelusuri persimpangan yang rumit, kita perlu memetakan panjang setiap ruas jalan utamanya terlebih dahulu.

Pada persegi panjang $ABCD$, sisi mendatar berukuran $AB = 24\text{ cm}$ dan sisi tegak berukuran $BC = 16\text{ cm}$. Titik $P$ membagi jalan $AB$ dengan perbandingan $AP : PB = 5 : 3$, yang berarti total panjangnya terdiri atas $5 + 3 = 8$ bagian sama besar. Dari pembagian ini, kita peroleh ruas $AP = \frac{5}{8} \times 24 = 15\text{ cm}$ dan ruas $PB = \frac{3}{8} \times 24 = 9\text{ cm}$.

Sementara itu, titik $Q$ berada tepat di tengah sisi $BC$, sehingga panjang $16\text{ cm}$ terbagi rata menjadi dua bagian sama panjang, yaitu $BQ = 8\text{ cm}$ dan $QC = 8\text{ cm}$. Semua informasi rasio kini telah berubah menjadi angka pasti yang siap digunakan pada tahap berikutnya.

Pythagoras dan Trik Akar

Bentuk akar yang besar dapat disederhanakan dengan memecahnya menjadi perkalian faktor kuadrat sempurna. Layaknya menelusuri rute di kota padat, kita tidak perlu melihat keseluruhan peta sekaligus; cukup sorot satu blok segitiga siku-siku demi satu blok agar perhitungan menjadi terarah dan jernih.

Mari kita periksa blok pertama, yaitu segitiga siku-siku $ABQ$ dengan sudut siku-siku di titik $B$. Ruas alasnya adalah $AB = 24\text{ cm}$ dan sisi tegaknya adalah $BQ = 8\text{ cm}$. Dengan menggunakan aturan Pythagoras, kuadrat sisi miring $AQ$ dihitung sebagai:

$$AQ^2 = 24^2 + 8^2 = 576 + 64 = 640$$

Nilai $\sqrt{640}$ tampak besar, namun kita dapat menemukan faktor kuadrat terbesar di dalamnya, yaitu $64$:

$$AQ = \sqrt{64 \times 10} = \sqrt{64} \times \sqrt{10} = 8\sqrt{10}\text{ cm}$$

Hasil ini membuktikan bahwa pernyataan pada Opsi A bernilai benar.

Sekarang, kita alihkan sorotan ke blok kedua, yaitu segitiga siku-siku $PBC$ yang juga siku-siku di $B$. Sisi alasnya adalah $PB = 9\text{ cm}$ dan sisi tingginya adalah $BC = 16\text{ cm}$. Melalui Pythagoras, panjang sisi miring $CP$ adalah:

$$CP = \sqrt{9^2 + 16^2} = \sqrt{81 + 256} = \sqrt{337}\text{ cm}$$

Karena $337$ adalah bilangan prima yang tidak memiliki faktor kuadrat selain $1$, nilainya tetap $\sqrt{337}\text{ cm}$. Dengan demikian, pernyataan pada Opsi C yang menyebutkan panjang $CP$ adalah $6\sqrt{10}\text{ cm}$ (setara $\sqrt{360}\text{ cm}$) terbukti salah.

Trik Garis Bantu

Menambah garis bantu di luar bangun asli akan menciptakan dua segitiga sebangun yang membuat perbandingan sisi bersilang dapat dihitung. Ketika dua ruas jalan bersilangan di tengah kota—seperti garis $CP$ dan $AQ$ yang berpotongan di titik $T$—mencari rasio potongannya terasa buntu bila kita hanya terpaku di dalam batas kotak persegi panjang.

Kuncinya adalah membuka rute keluar: perpanjang ruas garis $AQ$ melewati $Q$ dan perpanjang sisi atas $DC$ melewati $C$ hingga kedua garis tersebut bertemu di satu titik baru, yaitu titik $R$. Perpanjangan ini melahirkan segitiga baru $RCQ$ di sebelah luar. Mari kita amati hubungan antara $\Delta ABQ$ dan $\Delta RCQ$:

• Sudut $\angle ABQ = \angle RCQ = 90^\circ$ karena keduanya tegak lurus terhadap garis $BC$.

• Panjang sisi $BQ = QC = 8\text{ cm}$ karena $Q$ adalah titik tengah $BC$.

• Sudut $\angle AQB = \angle RQC$ karena posisinya saling bertolak belakang.

Berdasarkan kriteria Sudut-Sisi-Sudut, $\Delta ABQ$ kongruen (sama dan sebangun persis) dengan $\Delta RCQ$. Konsekuensinya, panjang alas segitiga luar ini sama dengan panjang sisi bawah: $RC = AB = 24\text{ cm}$.

Sekarang, sorot dua blok segitiga yang saling bertolak belakang pada persimpangan titik $T$: segitiga bawah $\Delta TAP$ dan segitiga atas $\Delta TRC$. Karena garis alas $AP$ sejajar dengan garis atap $RC$, sudut-sudut dalam berseberangannya sama besar, sehingga kedua segitiga ini memenuhi prinsip kesebangunan. Kita dapat langsung membandingkan pasangan sisi yang bersesuaian:

$$\frac{CT}{TP} = \frac{RC}{AP}$$

Dengan memasukkan nilai $RC = 24\text{ cm}$ dan $AP = 15\text{ cm}$, perbandingan ruas tersebut menjadi:

$$\frac{CT}{TP} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}$$