Membongkar Misteri Akar Tak Hingga
Efek Cermin Tak Hingga
Pernahkah kamu berdiri di antara dua cermin yang saling berhadapan? Kamu akan melihat pantulan dirimu berulang terus-menerus sampai tak terhingga. Fenomena ini sering disebut infinity mirror atau Efek Droste.
Sifat paling unik dari struktur tak terhingga adalah kesamaan diri (self-similarity). Bayangkan kamu menutup atau memecahkan satu cermin pantulan paling depan. Apakah sisa pantulannya di belakang berubah? Tidak. Jumlah pantulan di belakangnya akan tetap tak terhingga, dengan wujud yang sama persis seperti aslinya.
Gambar: Nevit Dilmen ( talk ), CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons
Dalam matematika, ide ini sangat kuat. Kalau sebuah pola itu berulang tanpa batas, maka sebagian dari pola tersebut nilainya sama dengan keseluruhan polanya.
Mari kita uji sejenak instingmu tentang sifat tak hingga ini.
Bayangkan kamu punya deretan koin yang panjangnya tak terhingga. Jika kamu mengambil tepat satu koin yang paling depan, apa yang terjadi pada panjang sisa koin di belakangnya?
- A. Tetap tak terhingga (sama panjangnya dengan kondisi awal).
- B. Tak terhingga dikurangi satu.
- C. Menjadi panjang yang terhingga (bisa dihitung).
- D. Deretannya langsung habis.
Jawaban: A. Tetap tak terhingga (sama panjangnya dengan kondisi awal).
Sebuah kumpulan yang jumlahnya tak terhingga (infinity), jika dikurangi satu, lima, atau berapapun jumlah yang pasti, sisanya akan TETAP tak terhingga. Sifat dasarnya tidak berkurang sedikit pun!
Menghilangkan sejumlah berhingga elemen dari sekumpulan tak hingga tidak mengubah sifat tak hingganya.
Menemukan 'x' di Dalam 'x'
Sekarang, mari kita bawa ide "Efek Droste" tadi ke persamaan matematika pada soal kita. Kita punya bentuk akar yang berulang tanpa ujung:
$x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + ...}}}$
Coba amati baik-baik struktur di atas. Kalau kita hanya fokus pada bagian yang ada tepat di bawah akar paling luar, apa yang kita lihat?
Bagian di dalam akar itu adalah $\sqrt{6 + \sqrt{6 + ...}}$. Karena polanya berjalan sampai tak terhingga, bagian dalam ini ternyata bentuknya persis sama dengan keseluruhan polanya! Sesuai prinsip self-similarity yang kita bahas, "keseluruhan" pola itu bernama $x$.
Maka, persamaan super panjang dan menyeramkan itu bisa kita ringkas menjadi satu persamaan yang elegan: $x = \sqrt{6 + x}$
Coba gunakan prinsip yang sama untuk memecahkan kode persamaan di bawah ini.
Jika kita memiliki pecahan bertumpuk tak terhingga y = 12 / (12 / (12 / ...)), bagaimana bentuk persamaan ringkasnya dengan prinsip substitusi yang sama?
- A. y = 12 / (12 + y)
- B. y = 12 / y
- C. y = 12 / (y + 12)
- D. y = 12 + (12 / y)
Jawaban: B. y = 12 / y
Karena polanya berulang tak hingga, bagian penyebut yaitu (12 / (12 / ...)) memiliki struktur yang identik dengan keseluruhan nilainya (y). Maka kita bisa mengganti seluruh bagian penyebut di bawah angka 12 pertama dengan 'y'.
Mensubstitusi pola berulang di dalam struktur tak hingga dengan variabel utamanya.
Mengurai Kuadrat
Kita sudah sukses mengubah teka-teki tak hingga yang ribet menjadi satu persamaan sederhana: $x = \sqrt{6 + x}$
Namun, tanda akar ($\sqrt{}$) masih menyandera nilai $x$. Bagaimana cara kita membebaskan persamaan dari jeratan akar ini? Kuncinya adalah memberikan perlakuan yang adil pada kedua ruas: kuadratkan keduanya.
Dari pemfaktoran ini, kita mendapatkan dua "calon" jawaban: $x = 3$ atau $x = -2$.
Mana dari dua angka ini yang merupakan kunci jawaban sejati? Jangan buru-buru, mari kita periksa tiket masuknya di halaman berikutnya.