Menjinakkan Bilangan Irasional lewat Contoh

Apa itu Irasional?

Pernah bingung membedakan mana bilangan rasional dan mana yang irasional? Ingat satu patokan kunci ini: pecahan.

Bilangan rasional adalah bilangan yang "masuk akal", artinya bisa diubah jadi bentuk pecahan sederhana $\frac{a}{b}$ (dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat). Contohnya $2$ (sama dengan $\frac{2}{1}$), $0.5$ (sama dengan $\frac{1}{2}$), atau $0.333...$ (sama dengan $\frac{1}{3}$). Mereka semua punya pola yang jelas atau desimalnya berhenti.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang desimalnya berantakan sampai tak hingga, nggak punya pola berulang, dan sama sekali tidak bisa dijadikan pecahan. Contoh paling terkenal adalah $\pi$ ($3.14159...$) atau bentuk akar seperti $\sqrt{2}$ ($1.41421...$).

Walaupun bentuk desimalnya berantakan, operasi hitung bilangan irasional sering memberi kejutan. Kadang-kadang, kalau kita mengalikan atau memangkatkan bilangan irasional, hasilnya malah bisa balik jadi rasional yang "rapi", sama seperti instingmu saat mengalikan $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$.

Senjata Bernama Counter-Example

Di matematika, kalau ada pernyataan yang bilang sesuatu itu selalu terjadi, kita nggak perlu repot-repot mengecek semua angka di dunia buat mematahkannya. Kita cukup cari satu saja contoh kasus yang bikin aturannya gagal. Ini yang namanya counter-example (contoh penyangkal).

Di Pernyataan III pada soal, ada klaim: "Selisih dari dua bilangan irasional sembarang selalu menghasilkan bilangan irasional."

Mari kita patahkan klaim ini! Ambil bilangan irasional pertama yang bentuknya unik, misalnya $(3 + \sqrt{2})$. Kenapa ini irasional? Karena ada $\sqrt{2}$ yang bikin desimal keseluruhannya jadi berantakan. Lalu, ambil bilangan irasional kedua, yaitu $\sqrt{2}$.

Coba kita kurangkan keduanya: $(3 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3$

Hasilnya adalah $3$! Dan $3$ jelas adalah bilangan rasional. Cuma modal satu contoh nyata yang sederhana ini, klaim bahwa selisihnya "selalu irasional" langsung runtuh total.

Pangkat yang Membatalkan Irasionalitas

Sekarang kita lihat Pernyataan II yang mengklaim: "Perpangkatan bilangan irasional dengan bilangan irasional dapat menghasilkan bilangan rasional." Beda dengan "selalu", kata "dapat" berarti kita cuma butuh membuktikan bahwa kejadian itu mungkin terjadi.

Mari kita bongkar buktinya pakai sifat eksponen yang udah kamu kenal: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

Ambil bilangan irasional andalan kita: $\sqrt{2}$. Kita bentuk jadi sebuah bilangan berpangkat: $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$. Angka ini udah pasti irasional dan kelihatannya sangat rumit. Tapi, apa jadinya kalau angka rumit ini kita pangkatkan lagi dengan $\sqrt{2}$?

$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$

Ingat sifat eksponen! Pangkat yang dipangkatkan itu artinya pangkatnya dikalikan satu sama lain. Jadi, kita cukup mengalikan pangkat $\sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$

Sekarang, bentuk persamaannya menyusut jadi sangat sederhana: $\sqrt{2}^2$

Dan hasil dari $\sqrt{2}^2$ adalah $2$. Yap, sebuah bilangan bulat yang rasional! Bukti yang elegan ini mengonfirmasi bahwa pangkat yang terdiri dari bilangan irasional memang bisa membatalkan irasionalitas bilangan itu sendiri.