Menjinakkan Rasio Akar dan Barisan Selang-seling

Mencari Rasio yang Tersembunyi

Rasio pangkat empat sama dengan hasil pembagian suku kelima dengan suku pertama.

Bayangkan kamu sedang menyeberangi sungai dengan melompati batu-batu pijakan. Dalam barisan geometri, setiap kali kamu melompat dari satu batu (suku) ke batu berikutnya, jarak pijakanmu selalu dikalikan dengan faktor pengali tetap yang dinamakan rasio ($r$).

Dari diagram di atas, kita tahu batu pertama bernilai $3$ ($a_1 = 3$) dan batu kelima bernilai $27$ ($a_5 = 27$). Untuk berpindah dari suku pertama menuju suku kelima, kamu harus melompati $4$ celah:

$$3 \xrightarrow{\times r} x \xrightarrow{\times r} y \xrightarrow{\times r} z \xrightarrow{\times r} 27$$

Secara aljabar, hubungan ini dirumuskan sebagai:

$$a_5 = a_1 \cdot r^{5-1}$$

$$27 = 3 \cdot r^4$$

Bagi kedua ruas dengan $3$, kita peroleh:

$$r^4 = 9$$

Untuk menyelesaikan $r^4 = 9$, kita lakukan penarikan akar kuadrat secara bertahap:

1. Tarik akar kuadrat pertama: $r^2 = \sqrt{9} = 3$

2. Tarik akar kuadrat kedua: $r = \pm\sqrt{3}$

Kenapa Rasio Bisa Minus?

Karena akar genap menghasilkan nilai positif maupun negatif, barisan geometri juga bisa berayun secara selang-seling.

Dari persamaan sebelumnya, kita memperoleh $r^2 = 3$. Dalam aljabar, persamaan kuadrat memiliki dua kemungkinan penyelesaian real, yaitu $r = \sqrt{3}$ atau $r = -\sqrt{3}$, karena bilangan negatif jika dikuadratkan tetap menghasilkan bilangan positif: $(-\sqrt{3})^2 = 3$.

Ketika kamu memilih rasio bernilai negatif, pergerakan nilainya seperti melompat bolak-balik menyeberangi kedua tepi sungai. Tandanya berayun selang-seling di setiap lompatan:

$$\text{positif} \xrightarrow{\times (-)} \text{negatif} \xrightarrow{\times (-)} \text{positif} \xrightarrow{\times (-)} \text{negatif} \dots$$

Perhatikan bahwa suku kelima di soal bernilai positif $27$. Hal ini sangat sesuai karena rasio negatif yang dipangkatkan dengan bilangan genap ($r^4$) akan kembali menghasilkan nilai positif:

$$(-\sqrt{3})^4 = ((-\sqrt{3})^2)^2 = 3^2 = 9$$

Sifat berayun inilah yang membuka jalan bagi kemungkinan nilai-nilai suku perantara ($x, y, z$) bernilai negatif.

Mengeksekusi Perkalian Akar

Bentuk akar yang dikalikan dengan akar yang sama akan melebur dan menghilangkan tanda akarnya.

Setelah mengetahui nilai rasio $r$, kita perlu menghitung nilai suku-suku perantaranya, terutama nilai $y$ (suku ketiga). Mengalikan bentuk akar sering kali memicu kekeliruan jika kita memperlakukannya seperti penjumlahan biasa.

Berdasarkan sifat perkalian bentuk aljabar akar, $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$. Dua akar kuadrat sejenis yang bertemu akan melebur menjadi bilangan bulat yang utuh. Mari kita lihat perhitungannya:

• Jika kita memakai $x = 3\sqrt{3}$ dan mengalikannya lagi dengan $\sqrt{3}$:

  $$y = x \cdot r = (3\sqrt{3}) \times \sqrt{3} = 3 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 3 \times 3 = 9$$