Dari Pythagoras Menjadi Lingkaran

Kode Rahasia Pythagoras

Persamaan jumlah kuadrat jarak selalu menandakan adanya sudut siku-siku.

Saat melihat persamaan $MQ^2 + NQ^2 = MN^2$, jangan buru-buru pusing dengan aljabar yang rumit. Pola penjumlahan dua suku kuadrat yang menghasilkan suku kuadrat ketiga adalah bentuk persis dari Teorema Pythagoras ($a^2 + b^2 = c^2$).

Dalam geometri bidang, persamaan ini berarti ketiga titik $M$, $N$, dan $Q$ membentuk sebuah segitiga siku-siku. Sisi terpanjang atau sisi miringnya (hipotenusa) adalah ruas garis $MN$, sehingga sudut siku-siku ($90^\circ$) pasti berada tepat di titik $Q$.

Coba geser posisi Titik Q pada simulasi di atas. Perhatikan bagaimana sudut di titik $Q$ berubah-ubah saat kamu menggesernya di sekitar titik $M(2, 7)$ dan $N(4, 1)$. Hanya pada lintasan tertentu sudut tersebut tepat bernilai $90^\circ$ dan memenuhi persamaan Pythagoras.

Kamera 90 Derajat dan Lingkaran

Himpunan semua titik yang membentuk sudut siku-siku terhadap suatu garis lurus akan membuat lintasan berbentuk lingkaran.

Bayangkan kamu memegang sebuah kamera dengan lensa sudut pandang tepat $90^\circ$ yang sedang membidik sebuah panggung pertunjukan dengan ujung kiri di $M$ dan ujung kanan di $N$. Supaya kedua ujung panggung tersebut selalu pas di batas kiri dan kanan layar bidikmu, kamu tidak bisa berdiri sembarangan. Setiap kali kamu melangkah mundur, maju, atau ke samping, posisimu harus tetap menjaga sudut pandang $90^\circ$ tersebut.

Jika semua kemungkinan posisi berdirimu (titik $Q$) ditandai di atas lantai, jejak kakimu akan membentuk sebuah kurva tertutup yang mulus, yaitu lingkaran.

Diagram geometri menunjukkan diameter MN dan beberapa posisi kamera titik Q yang masing-masing membentuk sudut 90 derajat menghadap ruas garis MN, membentuk lokus lingkaran.

Fenomena ini dikenal dalam geometri sebagai Teorema Thales (dan kebalikannya): setiap sudut keliling yang menghadap ke diameter lingkaran selalu membentuk sudut siku-siku ($90^\circ$). Sebaliknya, tempat kedudukan (lokus) semua titik $Q$ yang membentuk sudut $90^\circ$ terhadap ruas garis $MN$ adalah lingkaran penuh dengan ruas garis $MN$ sebagai diameter-nya.

Titik A dan B berada di dinding. Kamu harus menyorot mereka berdua dengan senter yang memiliki cakupan cahaya siku-siku. Jika kamu bergerak menyusuri ruangan sambil terus mempertahankan titik A dan B tepat di batas sorotan cahayamu, pola apa yang akan terbentuk dari jalur kakimu?

  • Sebuah lingkaran yang berpusat di tengah-tengah antara A dan B.
  • Sebuah garis lurus sejajar dengan garis A dan B.
  • Sebuah persegi panjang dengan panjang sejauh jarak A dan B.
  • Sebuah busur elips yang berpusat di titik A.

Jawaban: Sebuah lingkaran yang berpusat di tengah-tengah antara A dan B.

Sesuai kebalikan Teorema Thales, himpunan semua titik yang memandang ruas garis AB dengan sudut tepat 90 derajat membentuk lingkaran sempurna dengan AB sebagai diameter (berpusat di titik tengah AB). Opsi B salah karena garis sejajar mempertahankan jarak tegak lurus, bukan sudut pandang konstan. Opsi C keliru mengira sudut siku-siku menghasilkan poligon persegi panjang. Opsi D salah karena lintasannya adalah lingkaran seimbang terhadap kedua titik, bukan elips yang berpusat di salah satu ujung.

Lintasan titik yang membentuk sudut 90 derajat terhadap suatu garis adalah lingkaran dengan garis tersebut sebagai diameternya.

Menemukan Jantung Lingkaran

Pusat lingkaran berada di tengah diameter, dan jari-jarinya adalah setengah panjang diameter tersebut.

Karena ruas garis $MN$ adalah diameter dari lingkaran lintasan titik $Q$, kita dapat langsung menentukan titik pusat dan ukuran lingkaran tersebut tanpa perlu menebak-nebak:

  1. Titik Pusat Lingkaran ($P$): Pusat lingkaran berada tepat di tengah-tengah ruas garis $MN$. Kita cukup mencari rata-rata koordinat dari titik $M(2, 7)$ dan $N(4, 1)$:

$$x_P = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad y_P = \frac{7 + 1}{2} = 4$$

Jadi, koordinat pusat lingkaran adalah $P(3, 4)$.

  1. Kuadrat Jari-jari ($r^2$): Jarak kuadrat antara titik $M$ dan $N$ adalah:

$$MN^2 = (4 - 2)^2 + (1 - 7)^2 = 2^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40$$

Karena diameter bernilai $MN$, maka jari-jarinya adalah $r = \frac{MN}{2}$. Dengan demikian, nilai kuadrat jari-jarinya adalah:

$$r^2 = \left(\frac{MN}{2}\right)^2 = \frac{MN^2}{4} = \frac{40}{4} = 10$$

Diagram koordinat ruas garis MN dengan titik M 2,7 dan N 4,1 , titik pusat P 3,4 di tengahnya, dan jari-jari r.

Dengan pusat $(h, k) = (3, 4)$ dan $r^2 = 10$, persamaan baku lingkarannya menjadi:

$$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 10$$