Jalan Pintas Suku Tengah Aritmatika

Insting Pertama: Mencari 'b'

ilustrasi

Kalau kamu ketemu soal barisan aritmatika dengan suku awal $a_1$ dan suku akhir $a_{101}$, langkah pertama yang biasanya muncul di kepalamu mungkin adalah mencari beda ($b$) antar suku. Tenang, itu wajar dan rumus umum $U_n = a + (n-1)b$ memang senjata utama kita.

Tapi, mari kita coba masukkan angka dari soal ke rumus tersebut: $42069 = 1 + (101-1)b$ $42069 = 1 + 100b$ $42068 = 100b$ $b = 420,68$

Bayangkan betapa repotnya mengalikan $420,68$ dengan $50$ untuk mencari $a_{51}$. Walaupun cara baku mencari $b$ selalu berhasil secara teori, cara ini tidak selalu efisien. Kalau angkanya jelek, kita butuh strategi lain yang lebih elegan.

Analogi Tangga Simetris

Biar lebih kebayang, coba bayangkan barisan aritmatika itu seperti sebuah anak tangga. Ciri khas barisan aritmatika adalah penambahannya yang konstan, sama seperti jarak antar anak tangga yang tingginya selalu sama.

Misalnya, kita punya tangga dengan 3 pijakan:

Pertanyaannya, di mana letak anak tangga ke-2? Jelas letaknya ada persis di tengah-tengah.

Karena posisi anak tangga ke-2 ini membagi jarak dengan adil (naiknya teratur), maka ketinggiannya pasti merupakan nilai rata-rata dari anak tangga paling bawah dan paling atas. Tinggal kita hitung: $\frac{1 + 9}{2} = 5$ meter.

Konsep sederhana ini nyatanya sangat sakti dan berlaku untuk semua barisan aritmatika, berapapun panjangnya.

Berdasarkan analogi tangga, berapakah nilai dari pijakan yang persis berada di tengah?

  • A. Rata-rata dari indeksnya
  • B. Rata-rata dari suku awal dan suku akhir
  • C. Selisih antara suku akhir dan suku awal dibagi dua
  • D. Perkalian suku awal dan akhir dibagi dua

Jawaban: B. Rata-rata dari suku awal dan suku akhir

Karena barisan aritmatika naik/turun secara konstan (seperti anak tangga), nilai yang ada persis di tengah adalah hasil rata-rata dari nilai ujung-ujungnya.

Suku tengah dari barisan aritmatika dengan jumlah suku ganjil dapat dicari menggunakan rata-rata suku awal dan suku akhir.

Dari Posisi Turun ke Nilai

Konsep tangga tadi adalah wujud nyata dari apa yang kita sebut sebagai Suku Tengah dalam barisan aritmatika.

Sebelum menghitung nilainya, kita harus yakin dulu apakah suku yang ditanyakan benar-benar ada di tengah. Di soal ini, kita punya suku ke-$1$ dan suku ke-$101$. Kita mencari suku ke-$51$. Apakah posisinya tepat di tengah?

Coba kita cari rata-rata indeksnya (urutan sukunya): $\frac{1 + 101}{2} = 51$

Ternyata, indeks 51 letaknya persis di tengah-tengah antara 1 dan 101!

Karena kita tahu posisinya adalah titik keseimbangan persis di tengah, kita bisa melompati pencarian beda ($b$) yang desimal tadi. Kita bisa langsung menggunakan rumus jalan pintas yang super cepat: Suku Tengah = $\frac{\text{Suku Awal} + \text{Suku Akhir}}{2}$

Tentukan kebenaran pernyataan berikut terkait posisi dan nilai suku tengah!

  • Suku ke-51 berada tepat di tengah suku ke-1 dan suku ke-101. — Benar
  • Nilai suku ke-50 adalah rata-rata dari suku ke-1 dan suku ke-101. — Salah
  • Jika kita tahu nilai ujung-ujungnya, nilai suku tengah bisa langsung dicari tanpa mencari beda (b). — Benar

Posisi n=51 adalah rata-rata dari indeks 1 dan 101, sehingga nilainya juga rata-rata dari a_1 dan a_101. Ini tidak berlaku jika posisinya tidak tepat di tengah (seperti n=50).

Jika indeks sebuah suku adalah rata-rata dari dua indeks suku lainnya, maka nilainya juga merupakan rata-rata dari dua suku tersebut.