Rahasia Efek Domino di Perkalian Pecahan

Bereskan Dulu yang di Kurung

Bayangkan kamu disuruh mengalikan deretan angka ini: $(1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{4}) \dots$

Bentuk pengurangannya bikin pusing kalau langsung dikali silang semuanya. Kuncinya sederhana: ubah dulu tiap kurung jadi pecahan biasa tunggal biar wujud aslinya kelihatan.

Gimana caranya? Kita ubah angka $1$ jadi pecahan yang penyebutnya (angka bawah) sama dengan pecahan di sebelahnya.

• Untuk $(1 - \frac{1}{2})$, anggap $1$ itu sama dengan $\frac{2}{2}$. Jadi, $\frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

• Untuk $(1 - \frac{1}{3})$, ubah $1$ jadi $\frac{3}{3}$. Jadi, $\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Kalau kita lanjutkan hal yang sama ke kurung-kurung berikutnya, soal perkalian ribet tadi berubah jadi jauh lebih bersahabat: $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots$

Keajaiban di 3 Suku Pertama

Sesuai gaya belajarmu yang suka mulai dari contoh super simpel, mari kita potong deretnya dan cuma hitung 3 suku pertama aja: $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

Kalau kita pakai cara kuli (atas dikali atas, bawah dikali bawah), hitungannya jadi $\frac{1 \times 2 \times 3}{2 \times 3 \times 4} = \frac{6}{24}$, yang kalau disederhanakan jadi $\frac{1}{4}$.

Tapi, ngitung begini bakal capek banget kalau angkanya gede. Ada cara ninjanya: pencoretan silang (cancellation).

Karena operasi ini murni perkalian pecahan, angka yang sama persis di atas (pembilang) dan di bawah (penyebut) bisa saling membagi habis (alias jadi 1).

• Angka $2$ di bawah pecahan pertama akan "mencoret" angka $2$ di atas pecahan kedua.

• Angka $3$ di bawah pecahan kedua akan "mencoret" angka $3$ di atas pecahan ketiga.

Apa yang tersisa? Cuma angka $1$ di paling pojok atas kiri, dan angka $4$ di paling pojok bawah kanan. Hasilnya langsung $\frac{1}{4}$!

Melihat Efek Domino

Sekarang, mari kita tes apakah trik pencoretan ini konsisten kalau kita tambah sukunya jadi 5: $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{5}{6}$

Ternyata, polanya persis sama. Angka $2$ dicoret, $3$ dicoret, $4$ dicoret, $5$ dicoret. Pencoretan silang ini terjadi terus-menerus secara beruntun dari kiri ke kanan.

Dalam deret pecahan yang panjang begini (dikenal juga dengan sebutan deret teleskopik), semua angka di "tengah-tengah" pasti tumbang. Yang akan selalu selamat (survivor) cuma dua pihak:

1. Pembilang paling awal (angka yang di atas pada pecahan pertama).

2. Penyebut paling akhir (angka yang di bawah pada pecahan terakhir).

Jadi, untuk soal di atas, kita gak perlu ngitung capek-capek karena yang berdiri kokoh cuma angka $1$ di atas dan angka $6$ di bawah. Hasilnya $\frac{1}{6}$.