Trik Polinomial Monik & Teorema Faktor

Arti Polinomial Monik

Polinomial monik selalu memiliki koefisien 1 di depan suku dengan pangkat tertingginya. Dalam konteks aljabar, derajat polinomial ditentukan oleh eksponen variabel tertinggi yang koefisiennya tidak nol. Jika fungsi tersebut berderajat 4, maka bentuk umum aljabar formalnya dituliskan sebagai:

$$f(x) = 1x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$$

Angka 1 di depan $x^4$ inilah yang mengunci sifat polinomial monik.

Diagram struktur polinomial monik berderajat 4 dengan penekanan pada koefisien utama 1 dan derajat 4.

Bayangkan polinomial seperti cetakan kue: koefisien utama 1 memastikan ukuran lebar mulut cetakan tidak meregang maupun menyusut, sementara faktor-faktor pangkat 4 menentukan profil lekukan cetakan tersebut. Mengetahui bahwa fungsi ini monik sangat krusial, karena saat difaktorkan nanti, kita tidak perlu mengalikan faktor-faktornya dengan konstanta pengali lain di luar angka 1.

Diketahui sebuah fungsi $g(x)$ adalah polinomial monik berderajat 3. Manakah di bawah ini yang paling tepat mewakili bentuk umum $g(x)$?

  • $g(x) = x^3 + px^2 + qx + r$
  • $g(x) = 3x^3 + px^2 + qx + r$
  • $g(x) = x^4 + px^3 + qx^2 + r$
  • $g(x) = px^3 + qx^2 + rx + 1$

Jawaban: $g(x) = x^3 + px^2 + qx + r$

Polinomial monik berderajat 3 harus memiliki pangkat tertinggi 3 dengan koefisien tepat 1 ($1x^3$), sehingga bentuknya adalah $x^3 + px^2 + qx + r$. Pilihan B keliru karena koefisien utamanya 3 (bukan 1). Pilihan C keliru karena berderajat 4. Pilihan D keliru karena angka 1 diletakkan pada suku konstanta, bukan pada koefisien utama.

Polinomial monik berderajat n selalu diawali dengan koefisien utama 1.

Menerjemahkan Pola ke Teorema Faktor

Pola $f(x) = 10x$ pada $x = 1, 2, 3$ bisa diubah menjadi polinomial baru yang memotong sumbu-$x$ (bernilai nol) di titik-titik tersebut. Nilai $f(1) = 10$, $f(2) = 20$, dan $f(3) = 30$ tidak berarti $f(x) = 10x$ berlaku untuk seluruh nilai $x$, melainkan kurva $f(x)$ memotong garis lurus $y = 10x$ tepat di tiga titik absis tersebut.

Jika kita memindahkan suku $10x$ ke ruas kiri, kita peroleh hubungan kesamaan:

$$f(x) - 10x = 0 \quad \text{pada } x = 1, 2, 3$$

Sekarang kita definisikan fungsi bantuan $P(x) = f(x) - 10x$. Berdasarkan hasil substitusi di atas:

Sesuai Teorema Faktor, jika $P(a) = 0$, maka $(x - a)$ merupakan faktor dari $P(x)$. Dengan demikian, $P(x)$ dijamin memiliki faktor $(x - 1)$, $(x - 2)$, dan $(x - 3)$. Jika kita ibaratkan seperti cetakan kue, fungsi dasar $P(x)$ menentukan titik-titik di mana kue menyentuh meja sebagai akar bernilai nol, dan penambahan garis linear $+10x$ bertindak mengangkat titik-titik sentuh tersebut ke ketinggian 10, 20, dan 30.

Jika sebuah polinomial $h(x)$ bernilai 5, 5, dan 5 secara berturut-turut pada $x = 2$, $x = 4$, dan $x = 6$, apakah faktor pembentuk yang pasti dimiliki oleh fungsi $K(x) = h(x) - 5$?

  • $(x - 2)(x - 4)(x - 6)$
  • $(x + 2)(x + 4)(x + 6)$
  • $(x - 5)$
  • $(x - 2)(x - 4)(x - 6) + 5$

Jawaban: $(x - 2)(x - 4)(x - 6)$

Karena $h(2) = 5$, $h(4) = 5$, dan $h(6) = 5$, maka fungsi $K(x) = h(x) - 5$ bernilai 0 pada $x = 2$, $x = 4$, dan $x = 6$. Berdasarkan Teorema Faktor, akar $x = a$ menghasilkan faktor linear $(x - a)$, sehingga $K(x)$ pasti memiliki faktor $(x - 2)(x - 4)(x - 6)$. Pilihan B salah tanda faktor. Pilihan C keliru menganggap nilai fungsi 5 sebagai akar absis. Pilihan D adalah bentuk $h(x)$, bukan faktor murni milik $K(x)$.

Memindahkan pola ke ruas kiri menghasilkan fungsi dengan akar-akar yang diketahui.

Misteri Akar Keempat yang Saling Menghilangkan

Karena $f(x)$ berderajat 4, harus ada faktor keempat $(x - r)$, tetapi nilai $r$ akan saling meniadakan saat melakukan penjumlahan $f(12) + f(-8)$. Karena $f(x)$ adalah polinomial monik, koefisien di depan perkalian faktornya tetap bernilai 1. Kita dapat menyusun bentuk aljabar utuh dari cetakan kue polinomial ini:

$$f(x) - 10x = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r)$$

$$f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r) + 10x$$

Mari kita evaluasi $f(12)$ dan $f(-8)$ secara bertahap:

Untuk $x = 12$:

$$f(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - 3)(12 - r) + 10(12)$$

$$f(12) = (11)(10)(9)(12 - r) + 120 = 990(12 - r) + 120$$

Untuk $x = -8$:

$$f(-8) = (-8 - 1)(-8 - 2)(-8 - 3)(-8 - r) + 10(-8)$$

$$f(-8) = (-9)(-10)(-11)(-8 - r) - 80$$

Perhatikan hukum tanda: hasil kali tiga bilangan negatif adalah negatif, yaitu $(-9) \times (-10) \times (-11) = -990$. Kita faktorkan tanda negatif dari faktor terakhir $(-8 - r) = -(8 + r)$:

$$f(-8) = -990[-(8 + r)] - 80 = 990(8 + r) - 80$$

Sekarang kita jumlahkan kedua nilai tersebut:

$$f(12) + f(-8) = [990(12 - r) + 120] + [990(8 + r) - 80]$$

$$f(12) + f(-8) = 990[(12 - r) + (8 + r)] + (120 - 80)$$

$$f(12) + f(-8) = 990(20) + 40 = 19800 + 40 = 19840$$

Suku variabel $r$ dan $-r$ habis saling menghilangkan, sehingga nilai $r$ memang sengaja tidak perlu diketahui.