Membongkar Akar Bertingkat dan Persamaan Eksponen

Akar = Pangkat Pecahan

Pernah merasa simbol akar ($\sqrt{}$) itu kaku dan membatasi pergerakan saat kita lagi asyik-asyiknya ngotak-ngatik aljabar? Kamu nggak sendirian!

Secara historis, simbol akar dan pangkat itu diciptakan di masa yang berbeda. Simbol akar itu ibarat satu bahasa, sedangkan pangkat (eksponen) adalah bahasa lain. Untuk menyelesaikan soal aljabar yang rumit (seperti ada akar di dalam akar), kita butuh satu bahasa yang sama. Bahasa yang paling "sakti" dan fleksibel adalah pangkat pecahan.

Ketika kamu berhadapan dengan soal yang punya banyak bentuk akar bertumpuk-tumpuk, langkah pertama yang paling aman dan terstruktur adalah mengubah semua simbol akar menjadi bentuk pangkat pecahan. Kenapa? Karena begitu berubah wujud jadi pangkat, kamu langsung bisa memakai semua sifat eksponen yang udah kamu pelajari sebelumnya!

Membongkar Akar Bertingkat

Bagaimana kalau akarnya ada di dalam akar? Seperti membuka kado yang dibungkus berlapis-lapis, kita harus membongkarnya pelan-pelan dari luar ke dalam (atau sebaliknya).

Mari kita lihat bentuk $\sqrt[3]{m\sqrt{n}}$ dari persamaan pertama di soal tadi.

Langkah pertama, ubah semua yang ada di dalam bentuk radikal menjadi pangkat. $\sqrt{n}$ menjadi $n^{\frac{1}{2}}$. Maka isi radikal yang di dalam menjadi: $m \cdot n^{\frac{1}{2}}$.

Sekarang, semuanya itu dibungkus oleh akar pangkat tiga ($\sqrt[3]{...}$). Berarti, keseluruhan bentuk tadi dipangkatkan sepertiga!

Jadi, bentuk $(m \cdot n^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$ didistribusikan menjadi:

1. $m$ dipangkatkan $\frac{1}{3}$, menjadi $m^{\frac{1}{3}}$.

2. $n^{\frac{1}{2}}$ dipangkatkan $\frac{1}{3}$. Di sini kita pakai aturan pangkat dipangkatkan ($(x^a)^b = x^{a \cdot b}$), sehingga pangkatnya dikali: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. Suku ini menjadi $n^{\frac{1}{6}}$.

Hasil akhir setelah bingkisan dibuka sepenuhnya: $m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{6}}$. Rapi banget, kan?

Menggabungkan Basis yang Sama

Di persamaan pertama soal, bentuk aslinya bukan cuma akar bertingkat, tapi ada pengali $m$ lagi di depannya: $m \sqrt[3]{m \sqrt{n}} = 1$.

Tadi kita udah berhasil membongkar bagian akarnya jadi $m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{6}}$. Kalau disatukan lagi dengan $m$ yang di depan, bentuk utuhnya jadi: $m^1 \cdot m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{6}} = 1$

Kalau dilihat-lihat, ada dua suku dengan basis yang sama, yaitu sama-sama huruf $m$. Sayang dong kalau dibiarin misah?

Dengan menggabungkan $m$, kita dapatkan bentuk yang sangat rapi untuk persamaan pertama: $m^{\frac{4}{3}} \cdot n^{\frac{1}{6}} = 1$ (Kita sebut ini Persamaan i).

(Psst... kalau cara yang sama kamu pakai untuk persamaan kedua dari soal yaitu $\sqrt{m \sqrt[3]{n}} = 1$, kamu bakal dapet bentuk rapinya: $m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{6}} = 1$. Coba buktiin sendiri di kertas coretanmu!)