Akar, Kuadrat, dan Suku yang Hilang
Aturan Main Perkalian Akar
Saat mengalikan bentuk akar, bilangan di luar akar hanya dikalikan dengan sesama luar, dan bilangan di dalam akar dengan sesama dalam.
Bentuk akar dapat kita bayangkan seperti barang di dalam kantong transparan. Bilangan bulat di depan akar adalah skalar yang bertindak sebagai jumlah kantong, sedangkan bilangan di dalam akar adalah isi dari kantong tersebut. Saat dua bentuk akar dikalikan, aturan mainnya sangat tegas: bilangan luar dikalikan dengan sesama luar, dan bilangan dalam dikalikan dengan sesama dalam.
Secara formal, sifat perkalian bentuk akar dirumuskan sebagai:
$$a\sqrt{b} \times c\sqrt{d} = (ac)\sqrt{bd}$$
Aturan ini menjadi kunci saat kita berhadapan dengan perkalian dua suku akar, seperti pada bentuk $2\sqrt{11} \times \sqrt{3}$. Di sini, $\sqrt{3}$ memiliki koefisien luar tersirat sebesar $1$ (yaitu $1\sqrt{3}$). Dengan menerapkan aturan luar kali luar dan dalam kali dalam, kita peroleh:
$$(2 \times 1)\sqrt{11 \times 3} = 2\sqrt{33}$$
Berapakah hasil dari $3\sqrt{2} \times \sqrt{5}$?
- $3\sqrt{10}$
- $\sqrt{30}$
- $3\sqrt{7}$
- $15\sqrt{2}$
Jawaban: $3\sqrt{10}$
Bilangan di luar akar (skalar) dikalikan sesama luar: $3 \times 1 = 3$. Bilangan di dalam akar dikalikan sesama dalam: $\sqrt{2 \times 5} = \sqrt{10}$. Jadi hasilnya $3\sqrt{10}$. Opsi B salah karena memasukkan skalar ke dalam akar sembarangan, opsi C salah karena menjumlahkan isi akar, dan opsi D salah karena mengalikan skalar dengan isi akar.
Mengalikan bilangan skalar berakar dengan bilangan akar murni menggunakan aturan luar kali luar dan dalam kali dalam.
Jebakan Kuadrat Pengurangan
Menguadratkan bentuk pengurangan bukan berarti mengurangkan kuadrat masing-masing sukunya secara terpisah.
Jebakan klasik yang sering mengecoh adalah menganggap $(a - b)^2$ sama dengan $a^2 - b^2$. Jika kita terjebak cara pikir ini pada ekspresi $(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2$, kita akan salah mengira hasilnya hanyalah $11 - 3 = 8$. Kesalahan inilah yang kerap menggoda siswa hingga berujung memilih Opsi A ($6$), yaitu karena mengurangkan $8$ dengan angka $2$ di luar akar ($8 - 2 = 6$) sambil mengabaikan bentuk akarnya.
Secara geometris maupun aljabar, menguadratkan suatu binomial berarti mengalikan ekspresi itu dengan dirinya sendiri:
$$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2$$
Perhatikan bahwa selalu muncul suku tengah, yaitu $-2ab$. Pada diagram persegi berukuran sisi $a$, ketika kita memotong bagian selebar $b$ dari kedua sisi, kita mengurangi dua persegi panjang masing-masing seluas $ab$. Karena pojok seluas $b^2$ terkurang dua kali, kita harus menambahkan kembali satu luasan $b^2$. Kehilangan suku tengah $-2ab$ inilah yang membuat banyak perhitungan aljabar menjadi salah arah.
Tentukan kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut mengenai bentuk kuadrat aljabar.
- $(x - y)^2 = x^2 - y^2$ — Salah
- $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ — Benar
Pernyataan 1 Salah karena melupakan suku tengah $-2xy$. Pernyataan 2 Benar karena kuadrat binomial $(x - y)^2$ memiliki penjabaran lengkap $x^2 - 2xy + y^2$.
Identifikasi kebenaran rumus identitas kuadrat binomial.
Mengeksekusi Kuadrat Akar
Dengan rumus kuadrat binomial dan aturan perkalian akar, kita bisa menjabarkan bentuk akar yang dikuadratkan tanpa terjebak.
Sekarang, mari kita terapkan identitas $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ secara bertahap pada bagian pertama soal, yaitu $(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2$. Di sini, kita tetapkan $a = \sqrt{11}$ dan $b = \sqrt{3}$.
Jika seseorang tergesa-gesa dan hanya mengkuadratkan suku pertama saja sembari melupakan suku-suku berikutnya, ia akan terjebak pada angka $11$, yang merupakan godaan pada Opsi C.
Setelah semua suku dijabarkan secara lengkap, kita satukan hasilnya:
$$(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2 = 11 - 2\sqrt{33} + 3 = 14 - 2\sqrt{33}$$
Perhatikan bagaimana bilangan bulat $11$ dan $3$ dapat langsung kita jumlahkan menjadi $14$, sementara suku bentuk akar $-2\sqrt{33}$ tetap berdiri sebagai suku tersendiri.