Teorema Bayes: Melacak Jejak Baut Rusak

Menentukan Kondisi Patokan

Dalam peluang bersyarat, kejadian yang sudah pasti terjadi akan mempersempit ruang sampel dan menjadi patokan yang baru.

Diagram area yang menunjukkan penyempitan ruang sampel dari total baut menjadi hanya baut rusak

Saat membaca kalimat "sebuah baut dipilih secara acak dan ternyata rusak, peluang baut tersebut berasal dari Mesin I", perhatikan urutan informasinya. Kondisi bahwa baut itu rusak bukanlah hal yang masih dicari, melainkan fakta yang sudah dipastikan terjadi di awal.

Bayangkan pabrik memproduksi 1000 baut (sebagai ilustrasi) yang disortir ke dalam keranjang. Begitu kita tahu baut yang terambil itu rusak, kita langsung membuang semua baut mulus dari pengamatan. Keranjang yang berisi baut rusak inilah yang sekarang menjadi ruang sampel baru kita.

Menghitung Baut Rusak Tiap Mesin

Jumlah kejadian spesifik dari suatu kelompok bergantung pada tingkat kejadian dan seberapa besar porsi kelompok tersebut dalam populasi.

Diagram pohon probabilitas pembagian baut ke mesin dan status kerusakannya

Miskonsepsi yang paling sering muncul adalah langsung mengambil persentase kerusakan dari total seluruh baut. Misalnya, mengira baut rusak dari Mesin I adalah $2\%$ dari total 1000 baut (yaitu 20 baut). Ini keliru, karena Mesin I tidak memproduksi seluruh baut di pabrik tersebut.

Mari kita telusuri alur logikanya langkah demi langkah:

Porsi kapasitas mesin: Mesin I hanya memproduksi $60\%$ dari total baut. Jika pabrik memproduksi 1000 baut, jatah Mesin I adalah $60\% \times 1000 = 600\text{ baut}$.
Tingkat kerusakan mesin: Dari 600 baut milik Mesin I tersebut, barulah $2\%$-nya mengalami kerusakan:
$$\text{Baut rusak Mesin I} = 2\% \times 600 = 12\text{ baut}$$

Dalam bahasa peluang, kejadian sebuah baut berasal dari Mesin I dan mengalami kerusakan adalah irisan dari kedua peristiwa tersebut:

$$P(\text{Mesin I} \cap \text{Rusak}) = P(\text{Mesin I}) \times P(\text{Rusak} \mid \text{Mesin I}) = 0{,}60 \times 0{,}02 = 0{,}012$$

Di sebuah sekolah, $40\%$ siswa mengikuti ekskul basket. Dari anggota ekskul basket tersebut, $10\%$ di antaranya adalah kidal. Berapa peluang terpilihnya seorang siswa yang mengikuti ekskul basket DAN kidal dari seluruh siswa sekolah tersebut?

Jawaban: 4%

Peluang irisan dihitung dengan mengalikan persentase kelompok dan persentase sifat di dalam kelompok tersebut: $40\% \times 10\% = 0{,}40 \times 0{,}10 = 0{,}04$ atau $4\%$. Opsi 10% keliru karena mengabaikan porsi basket, opsi 50% keliru karena menjumlahkan keduanya, dan opsi 25% keliru karena membaginya.

Peluang irisan dihitung dengan mengalikan peluang kelompok dengan peluang kejadian bersyarat di dalam kelompok tersebut.

Total Kemungkinan Kejadian

Probabilitas total suatu kejadian adalah jumlah dari semua irisan peluang yang menghasilkan kejadian tersebut.

Baut yang rusak tidak hanya disumbangkan oleh Mesin I, melainkan juga datang dari Mesin II dan Mesin III. Menggunakan prinsip pembobotan yang sama, kita hitung kontribusi dari mesin lainnya:

Dari Mesin II: $P(\text{Mesin II} \cap \text{Rusak}) = 0{,}30 \times 0{,}03 = 0{,}009$
Dari Mesin III: $P(\text{Mesin III} \cap \text{Rusak}) = 0{,}10 \times 0{,}04 = 0{,}004$

Untuk mengetahui peluang total sebuah baut mengalami kerusakan, kita jumlahkan seluruh kontribusi kerusakan dari ketiga mesin:

$$P(\text{Rusak}) = 0{,}012 + 0{,}009 + 0{,}004 = 0{,}025$$

Nilai $0{,}025$ inilah yang mewakili total seluruh isi keranjang baut rusak kita, sekaligus menjadi penyebut (pembagi) dalam perhitungan peluang bersyarat.