Membongkar Rumus Banyak Faktor

Anatomi Sebuah Faktor

Pernah kebayang nggak, dari mana sih asalnya angka-angka yang bisa membagi habis suatu bilangan?

Setiap bilangan punya "DNA" pembentuk yang disebut faktorisasi prima. Kalau kita bedah bilangan $12$, DNA-nya adalah $2^2 \times 3^1$. Nah, semua faktor dari $12$ (yaitu $1, 2, 3, 4, 6,$ dan $12$) sebenarnya cuma hasil rakitan ulang dari DNA ini!

Coba deh kita ubah bentuk semua faktor $12$ tadi ke dalam pangkat primanya:

Terlihat polanya? Setiap faktor selalu terbentuk dari kombinasi pangkat angka 2 (bisa 0, 1, atau 2) dan pangkat angka 3 (bisa 0 atau 1). Pangkat faktornya nggak akan pernah melebihi pangkat asli dari bilangan itu sendiri.

Bilangan 18 memiliki faktorisasi prima $2^1 \\times 3^2$. Mengapa angka 4 bukan merupakan faktor dari 18?

  • A. Karena 18 memiliki faktor prima 5.
  • B. Karena pangkat 3 pada faktorisasi prima 18 adalah 3.
  • C. Karena pangkat 2 maksimal dari faktorisasi prima 18 hanyalah 1.
  • D. Karena 4 bukan bilangan prima.

Jawaban: C. Karena pangkat 2 maksimal dari faktorisasi prima 18 hanyalah 1.

Faktorisasi prima 18 adalah 2^1 x 3^2. Angka 4 (2^2) membutuhkan pangkat 2 yang bernilai 2, sedangkan stok pangkat 2 pada angka 18 maksimal hanya 1.

Faktor dari suatu bilangan pasti dibentuk dari pangkat-pangkat primanya yang tidak melebihi pangkat aslinya.

Dari Pola Menjadi Rumus

Sekarang kita udah tahu kalau faktor itu hasil mix-and-match pangkat faktorisasi prima. Tapi, gimana cara hitung jumlah total faktor tanpa harus daftarin satu-satu angkanya?

Mari kita lihat lagi stok pangkat untuk bilangan $12 = 2^2 \times 3^1$:

Total kombinasi rakitan yang bisa dibuat adalah hasil kali dari jumlah pilihan tersebut, yaitu $3 \times 2 = 6$ faktor. Inilah alasan logis di balik rumus banyak faktor yang sering kamu hafal!

Secara umum, kalau suatu bilangan $N$ punya faktorisasi prima $p^a \times q^b$, maka banyak faktor positifnya selalu: $(a+1) \times (b+1)$

Dalam rumus menghitung banyak faktor $(a+1) \\times (b+1)$, dari manakah asal angka $+1$ tersebut?

  • A. Sebagai toleransi error pada perhitungan faktorisasi.
  • B. Untuk menghitung bilangan itu sendiri sebagai faktor.
  • C. Karena setiap bilangan selalu memiliki faktor 1.
  • D. Untuk menyertakan pangkat 0 sebagai salah satu opsi kombinasi.

Jawaban: D. Untuk menyertakan pangkat 0 sebagai salah satu opsi kombinasi.

Saat membuat kombinasi faktor, kita selalu bisa memilih untuk tidak menggunakan bilangan prima tersebut sama sekali, yang secara matematis ditulis sebagai pangkat 0 (bernilai 1). Itulah mengapa ada tambahan +1 pilihan.

Tambahan +1 pada rumus banyak faktor mewakili pilihan pangkat 0, yang bernilai 1.

Menyusun Puzzle Syarat Soal

Nah, sekarang mari kita kembali ke soal yang mau kita pecahkan. Kita mencari sebuah bilangan rahasia, sebut saja $n$, yang punya dua syarat utama.

Syarat 1: $n$ adalah kelipatan 12 dan 18. Kalau $n$ adalah kelipatan 12 ($2^2 \times 3^1$) dan 18 ($2^1 \times 3^2$), berarti "DNA" $n$ harus cukup luas untuk mengcover keduanya. Agar bisa membagi habis keduanya, pangkat dari basis $2$ minimal harus $2$, dan pangkat dari basis $3$ minimal juga $2$. Jadi, kalau kita misalkan $n = 2^x \times 3^y$, kita punya batas minimal tegas: $x \ge 2$ dan $y \ge 2$.

Syarat 2: $n$ punya persis 12 faktor positif. Berdasarkan rumus rahasia yang kita turunkan sebelumnya, jumlah faktor dari $n$ adalah hasil kali pangkat-pangkat yang ditambah 1: $(x+1) \times (y+1) = 12$

Sekarang kita punya puzzle utuh: kita butuh dua angka yang kalau dikalikan hasilnya 12, tapi ingat batas minimalnya: $x$ dan $y$ sama sekali gak boleh kurang dari 2!