Menyederhanakan Pangkat & Hierarki Operasi

Mengupas Bahan Mentah

Pangkat pecahan adalah cara lain untuk menuliskan akar pangkat. Saat melihat bentuk seperti $x^{\frac{1}{n}}$, kita sebenarnya sedang mencari sebuah bilangan yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali akan menghasilkan $x$.

Ibarat memasak hidangan, angka dengan pangkat pecahan adalah bahan mentah yang masih berkulit tebal. Kita tidak bisa langsung memasaknya ke dalam hitungan sebelum mengupasnya menjadi angka bulat yang siap pakai.

Sebagai contoh, bentuk $9^{\frac{1}{2}}$ sama artinya dengan mencari akar kuadrat dari $9$, yaitu bilangan yang jika dikalikan dirinya sendiri sebanyak $2$ kali menghasilkan $9$. Karena $3 \times 3 = 9$, maka $9^{\frac{1}{2}} = 3$.

Prinsip yang sama berlaku untuk bilangan pada soal:

• $32^{\frac{1}{5}}$ adalah bilangan yang jika dikalikan dirinya sendiri $5$ kali menghasilkan $32$. Karena $2^5 = 32$, maka $32^{\frac{1}{5}} = 2$.

• $27^{\frac{1}{3}}$ adalah bilangan yang jika dikalikan dirinya sendiri $3$ kali menghasilkan $27$. Karena $3^3 = 27$, maka $27^{\frac{1}{3}} = 3$.

Menyederhanakan Soal

Setelah semua pangkat pecahan disederhanakan, bentuk ekspresi menjadi jauh lebih mudah dihitung. Kita tidak perlu lagi terintimidasi oleh angka-angka berpangkat rumit karena semuanya kini telah menjadi bahan siap masak.

Mari kita kumpulkan seluruh hasil penyederhanaan dari ekspresi awal:

• $32^{\frac{1}{5}} = 2$

• $16^{\frac{1}{4}} = 2$ (karena $2^4 = 16$)

• $27^{\frac{1}{3}} = 3$

• $9^{\frac{1}{2}} = 3$

Sekarang, gantikan setiap bilangan mentah pada pertidaksamaan asli dengan angka-angka bulat tersebut:

$$32^{\frac{1}{5}} \ \# \ 16^{\frac{1}{4}} \ Ⓢ \ 27^{\frac{1}{3}} \ @ \ 9^{\frac{1}{2}} > 2$$

Ekspresi yang siap kita uji berubah menjadi bentuk yang sangat ringkas:

$$2 \ \# \ 2 \ Ⓢ \ 3 \ @ \ 3 > 2$$

Jebakan Hitung Kiri ke Kanan

Dalam rantai hitungan, perkalian dan pembagian selalu dieksekusi lebih dulu sebelum penjumlahan dan pengurangan. Aturan ini dikenal sebagai hierarki operasi, yaitu resep baku dalam matematika yang menentukan urutan pengerjaan agar hasil akhir tidak melenceng.

Banyak kekeliruan terjadi saat kita tergoda menghitung secara lurus dari kiri ke kanan tanpa memedulikan jenis operasinya. Mari kita amati Opsi C dengan kombinasi operasi $(\times, -, \div)$, sehingga ekspresinya menjadi:

$$2 \times 2 - 3 \div 3$$

Jika dihitung membabi buta dari kiri ke kanan:

$$(2 \times 2) - 3 = 1 \implies 1 \div 3 = \frac{1}{3}$$

Hasil $\frac{1}{3}$ jelas tidak lebih besar dari $2$, sehingga pernyataan ini bisa keliru dianggap salah.

Cara yang benar adalah mengikuti resep hierarki operasi: selesaikan kelompok perkalian dan pembagian terlebih dahulu sebelum melakukan pengurangan. Kita bisa membayangkan tanda kurung pengelompokan:

$$(2 \times 2) - (3 \div 3) = 4 - 1 = 3$$

Karena $3 > 2$, maka Opsi C terbukti benar.

Hal serupa terjadi pada Opsi D dengan pasangan $(+, -, \div)$, yaitu $2 + 2 - 3 \div 3$. Jika dihitung dari kiri ke kanan, hasilnya keliru menjadi $(4 - 3) \div 3 = \frac{1}{3}$. Namun, dengan mendahulukan pembagian $3 \div 3 = 1$, kita memperoleh $2 + 2 - 1 = 3$. Karena $3 > 2$, maka Opsi D juga bernilai benar.