Rahasia di Balik Eksponen dan Keterbagian

Menguji dengan Angka Kecil

Pola dari sebuah rumus abstrak sering kali bisa ditebak dengan memasukkan angka-angka kecil ke dalamnya.

Bayangkan ekspresi aljabar $5^{n+2} - 5^n$ ini seperti sebuah mesin pembuat kelipatan. Ketika kita memasukkan nilai bilangan bulat positif $n$, mesin ini akan mengeluarkan suatu bilangan bulat. Mari kita coba masukkan beberapa angka kecil untuk melihat keluaran dari mesin ini:

Perhatikan angka $120$ dan $600$. Kedua angka ini sama-sama bisa dibagi oleh beberapa pilihan di soal, seperti Opsi A ($12$), Opsi B ($24$), dan Opsi D ($10$).

Memecah Pangkat yang Ditambah

Bentuk pangkat yang dijumlahkan dapat dipecah menjadi perkalian dua bilangan berpangkat dengan basis yang sama.

Ingat kembali sifat dasar eksponen:

$$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$$

Pada ekspresi kita, suku pertama adalah $5^{n+2}$. Dengan menggunakan sifat eksponen di atas, kita dapat menguraikannya:

$$5^{n+2} = 5^n \cdot 5^2$$

Karena $5^2 = 25$, bentuk tersebut setara dengan $25 \cdot 5^n$. Secara sederhana, ini bermakna kita memiliki $25$ buah paket yang masing-masing bernilai $5^n$.

Bentuk perpangkatan $3^{x+3}$ setara dengan ....

  • $9 \cdot 3^x$
  • $27 \cdot 3^x$
  • $3 \cdot 3^x$
  • $3^x + 27$

Jawaban: $27 \cdot 3^x$

Berdasarkan sifat eksponen $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, bentuk $3^{x+3}$ dapat dipecah menjadi $3^x \cdot 3^3$. Karena $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$, bentuknya menjadi $27 \cdot 3^x$. Opsi A salah karena keliru menghitung $3^3$ menjadi $3 \times 3 = 9$. Opsi C salah karena mengabaikan pemangkatan $3^3$. Opsi D salah karena mengubah perkalian menjadi penjumlahan.

Sifat pemecahan pangkat penjumlahan menjadi perkalian basis sama

Tarik Keluar yang Sama

Suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat disederhanakan dengan menarik keluar faktor tersebut.

Setelah suku pertama dipecah, ekspresi asli $5^{n+2} - 5^n$ dapat kita tulis ulang menjadi:

$$25 \cdot 5^n - 5^n$$

Kedua suku tersebut sama-sama memiliki faktor $5^n$. Agar lebih mudah dibayangkan, anggap satu paket $5^n$ seperti variabel $X$ dalam aljabar biasa:

$$25X - X = 24X$$

Sekarang, kembalikan $X$ ke bentuk aslinya, yaitu $5^n$. Kita memperoleh hasil akhir:

$$24 \cdot 5^n$$

Bentuk sederhana dari $7^{k+1} - 7^k$ adalah ....

  • $7^k$
  • $8 \cdot 7^k$
  • $6 \cdot 7^k$
  • $7 \cdot 7^k$

Jawaban: $6 \cdot 7^k$

Pecah terlebih dahulu $7^{k+1}$ menjadi $7 \cdot 7^k$. Ekspresi menjadi $7 \cdot 7^k - 7^k$. Tarik keluar $7^k$ sehingga didapat $(7 - 1) \cdot 7^k = 6 \cdot 7^k$. Opsi A salah karena langsung mengurangkan pangkat tanpa aturan. Opsi B salah karena menjumlahkan koefisien $7 + 1$. Opsi D salah karena lupa mengurangkan suku $7^k$ di belakang.

Memfaktorkan ekspresi eksponen dengan menarik keluar suku bersama