Mengurai Benang Kusut SPLTV Tiga Variabel

Strategi Dasar: Mau Dibawa ke Mana?

Pernah merasa pusing duluan saat melihat tiga baris persamaan penuh huruf $x$, $y$, dan $z$ sekaligus? Kamu tidak sendirian! Otak kita memang tidak dirancang untuk menyelesaikan tiga variabel secara bersamaan dalam satu kedipan mata.

Kunci rahasia dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) sebenarnya sangat sederhana: jangan selesaikan semuanya sekaligus. Kita akan menggunakan strategi 'menurunkan dimensi' atau menyederhanakan masalah secara bertahap.

Untuk mengeliminasi satu 'peserta' (variabel), kita harus cerdas memilih target. Jangan asal tembak! Carilah variabel yang koefisiennya paling simpel, yaitu angka $1$ atau $-1$.

Coba lihat soal kita:

$x + y + z = 7$
$x - y + 2z = 5$
$2x + y - z = 4$

Perhatikan variabel $y$. Di sana ada $+y$ dan ada $-y$. Kalau mereka dijumlahkan, $y$ akan langsung lenyap! Itulah kenapa variabel $y$ adalah "korban" pertama yang paling sempurna untuk dieksekusi.

Berdasarkan strategi 'menurunkan dimensi' pada sistem tiga variabel, langkah pertama apa yang paling masuk akal untuk dilakukan?

A. Langsung menjumlahkan ketiga persamaan sekaligus agar lebih cepat.
B. Memilih sembarang angka untuk disubstitusikan ke variabel x.
C. Membuang satu variabel yang sama dari dua pasang persamaan agar tersisa dua variabel.
D. Membagi semua persamaan agar tidak ada koefisien yang lebih dari 1.

Jawaban: C. Membuang satu variabel yang sama dari dua pasang persamaan agar tersisa dua variabel.

Kita tidak bisa melawan 3 'musuh' sekaligus. Strategi terbaik adalah membuang satu variabel dulu agar masalahnya menjadi lebih sederhana (SPLDV).

Strategi awal menyelesaikan SPLTV adalah menurunkan dimensi (menghilangkan satu variabel) agar menjadi SPLDV.

Langkah 1: Merampingkan Persamaan (3 ke 2)

Sekarang kita eksekusi strategi turnamen tadi. Misi kita: lenyapkan variabel $y$ dari ketiga persamaan itu. Untuk menghilangkan satu variabel dari tiga persamaan, kita harus menjodohkan mereka menjadi dua pasang yang berbeda.

Mari kita berjejerkan ketiga persamaan tadi: (1) $x + y + z = 7$ (2) $x - y + 2z = 5$ (3) $2x + y - z = 4$

Pasangan Pertama: Persamaan (1) dan (2) Kenapa kita jumlahkan? Karena di (1) ada $+y$ dan di (2) ada $-y$. Ibarat punya uang 1 lalu berutang 1, kalau digabung hasilnya habis (0). $(x + y + z) + (x - y + 2z) = 7 + 5$ $2x + 3z = 12$

Ini adalah hasil pertama kita. Mari kita beri nama dia Persamaan Baru A.

Pasangan Kedua: Persamaan (2) dan (3) Lagi-lagi kita jumlahkan, karena (2) punya $-y$ dan (3) punya $+y$. $(x - y + 2z) + (2x + y - z) = 5 + 4$ $3x + z = 9$

Ini adalah hasil kedua kita, sebut saja Persamaan Baru B.

Langkah 2: Memecahkan SPLDV (2 ke 1)

Keringat kita di langkah sebelumnya terbayar lunas. Kita sekarang cuma perlu menghadapi "duel" dua persamaan ini:

Persamaan A: $2x + 3z = 12$
Persamaan B: $3x + z = 9$

Bagaimana cara paling licin untuk menaklukkan mereka? Kita pakai metode substitusi (mengganti nilai). Coba pasang mata jeli, adakah variabel yang berdiri sendirian tanpa angka di depannya?

Benar! Variabel $z$ di Persamaan B. Karena dia sendirian, sangat mudah untuk mengubah susunannya dengan memindahkan $3x$ ke seberang: $z = 9 - 3x$

Sekarang, "bungkusan" $(9 - 3x)$ ini bisa kita masukkan (substitusikan) untuk menggantikan $z$ yang ada di Persamaan A:

$2x + 3z = 12$ $2x + 3(9 - 3x) = 12$

Lalu, kalikan masuk angka 3 ke dalam kurung: $2x + 27 - 9x = 12$

Gabungkan suku-suku yang punya $x$: $-7x + 27 = 12$

Geser angka $27$ ke kanan (berubah tanda jadi minus): $-7x = 12 - 27$ $-7x = -15$

Hore! Kita sudah sangat dekat untuk menemukan nilai pastinya.