Menghitung Cepat Pola Barisan Bersarang

Membaca Pola yang Tersembunyi

Bayangkan kamu sedang melihat area tambak luas milik Pak Danu. Ada 30 kolam berjejer memanjang. Daripada menebar satu jenis ikan di semua kolam, Pak Danu punya strategi unik: ia menebar benih secara bergilir.

Siklusnya selalu berulang setiap 3 kolam: Nila, Gurame, Lele, lalu kembali lagi ke Nila. Karena pertanyaannya hanya berfokus pada biaya benih ikan Nila, kita perlu mencari tahu dulu: sebenarnya ada berapa banyak kolam Nila dari total 30 kolam tersebut?

Berdasarkan pola di atas, ikan Nila menempati kolam nomor 1, 4, 7, 10, dan seterusnya. Ini berarti ikan Nila muncul tepat 1 kali dalam setiap siklus 3 kolam.

Cara gampang menentukan total kolam Nila tanpa harus menghitung satu-satu sampai 30 adalah dengan membagi total kolam dengan panjang siklusnya:

Lalu, kolam Nila terakhir itu kolam nomor berapa? Karena 30 habis dibagi 3, kolam ke-30 pastilah kolam terakhir dalam siklus (yaitu Lele). Mundur satu langkah, kolam ke-29 adalah Gurame. Mundur satu langkah lagi, kolam ke-28 adalah kolam Nila terakhir.

Jika Pak Danu hanya memiliki 24 kolam dengan siklus yang sama (Nila, Gurame, Lele), ada berapa banyak kolam Nila?

  • A. 7 kolam
  • B. 8 kolam
  • C. 9 kolam
  • D. 10 kolam

Jawaban: B. 8 kolam

Ikan mas ditebar 1 kali dalam setiap siklus 3 kolam. Total kolam dibagi 3 adalah 25 dibagi 3 = 8 sisa 1. Siklus ke-9 baru berisi kolam pertama (ikan mas), jadi totalnya 8 + 1 = 9 kolam. (Jawaban C) Tunggu, opsi B jika sisa 0. Mari koreksi pertanyaannya.

Menentukan banyaknya item dalam sebuah pola siklus berulang.

Menghitung Ikan Tanpa Menghitung Satu per Satu

Sekarang kita tahu ada 10 kolam Nila, dari kolam nomor 1 sampai kolam nomor 28. Tapi tunggu, setiap kolam jumlah ikannya beda-beda! Aturannya: kolam pertama berisi 10 ekor, dan setiap pindah ke kolam berikutnya ikannya bertambah 2 ekor.

Kita perlu tahu ada berapa banyak ikan di kolam Nila yang terakhir (kolam ke-28). Daripada kamu capek menjumlahkan manual: kolam 2 isinya 12, kolam 3 isinya 14... ayo kita gunakan prinsip "lompatan" barisan aritmetika.

ilustrasi

Untuk sampai ke kolam ke-28 dari kolam ke-1, kamu harus melompat sebanyak 27 kali (bukan 28 kali ya, karena kamu sudah berdiri di posisi awal).

Setiap satu kali lompatan antar kolam, jumlah ikannya bertambah 2. Jadi, total penambahan ikan dari awal sampai akhir adalah:

Jumlah ikan di kolam ke-28 (kolam Nila terakhir) adalah:

Berdasarkan aturan penambahan 2 ekor per kolam (kolam pertama 10 ekor), ada berapa ikan di kolam ke-21?

  • A. 30 ikan
  • B. 40 ikan
  • C. 50 ikan
  • D. 60 ikan

Jawaban: C. 50 ikan

Dari kolam 1 ke kolam 21 butuh 20 lompatan. Total penambahan = 20 x 2 = 40 ikan. Jumlah ikan di kolam ke-21 = 10 + 40 = 50 ikan.

Menggunakan logika lompatan untuk mencari nilai suku ke-n pada barisan aritmetika.

Trik Menjumlahkan Total Ikan (Deret)

Kita sudah punya data populasi ikan Nila:

Walaupun kolam Nila letaknya melompat-lompat (kolam 1, 4, 7...), penambahan ikannya sangat teratur. Karena berjarak 3 kolam, setiap antar kolam Nila ikannya bertambah 6 (berasal dari $3 \text{ lompatan} \times 2 \text{ ikan}$). Ini membentuk deret aritmetika baru.

Bagaimana cara cepat menjumlahkan semua ikan Nila di 10 kolam tersebut? Gunakan Trik Pasangan yang pertama kali ditemukan oleh matematikawan Carl Friedrich Gauss saat ia masih kecil!

Daripada capek menjumlahkan $10 + 16 + 22 + \dots + 64$, lebih baik kita pasangkan ujung dengan ujung.

Jika kolam Nila pertama (10 ikan) dijodohkan dengan kolam Nila terakhir (64 ikan), totalnya adalah 74 ikan. Pasangan berikutnya (kolam ke-4 yang berisi 16 ikan dengan kolam ke-25 yang berisi 58 ikan) juga berjumlah 74 ikan!

Karena kita punya 10 kolam Nila, kita bisa membentuk tepat 5 pasang. Maka, total seluruh ikan Nila adalah:

Jika di area lain Pak Danu memiliki deret 5 kolam Lele yang berisi berurutan 15, 22.5, 30, 37.5, dan 45 ekor ikan, berapakah total ikan Lele tersebut?

  • A. 130 ikan
  • B. 140 ikan
  • C. 150 ikan
  • D. 160 ikan

Jawaban: C. 150 ikan

Ujung + ujung = 15 + 45 = 60 ikan. Karena ada 5 kolam (ganjil, anggap saja n/2 = 2,5), atau bisa dianggap 5/2 pasang x 60 = 150 ikan.

Menjumlahkan deret aritmetika dengan trik memasangkan suku awal dan akhir.