Presisi Operasi Campuran Himpunan
Akurasi Mendaftar Anggota
Langkah fondasi dalam operasi himpunan adalah mendaftar semua elemen setiap set secara presisi tanpa ada yang tertinggal. Pada soal ini, kita bekerja dalam Himpunan Semesta ($S$), yaitu semesta pembicaraan yang memuat semua elemen bilangan asli dari 1 sampai 12:
$$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$$
Mari kita daftarkan anggota himpunan $A$, $B$, dan $C$ secara terperinci:
Himpunan $A$: Memuat bilangan asli penyelesaian dari $x^2 - 8x + 12 \leq 0 \iff (x - 2)(x - 6) \leq 0 \iff 2 \leq x \leq 6$. Maka, $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$.
Himpunan $B$: Memuat bilangan prima di antara 1 dan 10 ($1 < x < 10$), yaitu $B = \{2, 3, 5, 7\}$.
Himpunan $C$: Memuat semua faktor positif dari 12. Faktor selalu menyertakan 1 dan bilangan itu sendiri, sehingga $C = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
Mengeksekusi Tanda Kurung
Operasi himpunan yang berada di dalam tanda kurung harus dievaluasi pertama kali membentuk himpunan hasil sementara. Sama seperti prinsip urutan operasi pada aritmetika dasar (seperti aturan BODMAS/PEMDAS), tanda kurung berfungsi mengelompokkan sub-operasi yang wajib diselesaikan terlebih dahulu sebelum melangkah ke operasi di luar kurung.
Pada ekspresi target $C \cap (A \cup B)^c$, ekspresi di dalam kurung adalah Gabungan ($\cup$) antara himpunan $A$ dan $B$:
$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ atau } x \in B\}$$
Dengan $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ dan $B = \{2, 3, 5, 7\}$, kita satukan seluruh elemen unik dari kedua himpunan tersebut:
$$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$$
Komplemen Sang Pembalik Keadaan
Simbol komplemen diterapkan segera setelah isi kurung selesai dievaluasi, dan melewatkannya akan membalikkan hasil secara total. Dalam analogi hierarki operasi, tanda Komplemen ($^c$) bertindak mirip pangkat atau operator negasi yang mengikat langsung blok hasil di dalam kurung:
$$(A \cup B)^c = \{x \in S \mid x \notin (A \cup B)\}$$
Kita mengeliminasi setiap anggota $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ dari himpunan semesta $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$. Anggota semesta yang tersisa adalah:
$$(A \cup B)^c = \{1, 8, 9, 10, 11, 12\}$$