Menjinakkan Akar Tak Hingga
Paradoks Tak Hingga
Pernahkah kamu membayangkan sesuatu yang tidak memiliki ujung?
Saat melihat soal dengan bentuk $x = \sqrt{12 \sqrt{12 \sqrt{12 \sqrt{...}}}}$, hal pertama yang bikin pusing biasanya adalah deretan titik-titiknya. Itu artinya, operasi akar dan angka $12$ ini berulang terus sampai tak terhingga.
Di matematika, pola yang tak hingga ini punya sifat ajaib bernama self-similar (serupa dengan dirinya sendiri). Kalau kamu 'menggali' masuk satu lapisan ke dalam akar tersebut, sisa dari akar di dalamnya punya wujud yang sama persis dengan bentuk keseluruhannya di awal!
Konsep "bagian yang sama dengan keseluruhan" ini adalah kunci utama untuk menaklukkan soal-soal berpola tak terhingga.
Membongkar Pola dengan Kuadrat
Sekarang, mari kita ubah konsep lautan tak berujung tadi ke dalam bentuk aljabar.
Kita punya persamaan utama: $x = \sqrt{12 \sqrt{12 \sqrt{12 \sqrt{...}}}}$
Untuk membongkar lapisan akar yang paling luar, kita bisa mengkuadratkan kedua ruas persamaan tersebut menjadi seperti ini: $x^2 = 12 \cdot \sqrt{12 \sqrt{12 \sqrt{...}}}$
Coba perhatikan baik-baik bagian yang tersisa di dalam akar (setelah angka $12$). Karena polanya tak hingga, bagian $\sqrt{12 \sqrt{12 \sqrt{...}}}$ itu nilainya sama persis dengan definisi $x$ kita di awal mula!
Persamaan kita sekarang berubah wujud drastis menjadi sangat sederhana: $x^2 = 12x$
Jika kamu punya persamaan $p = \sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{...}}}$, apa bentuk persamaan baru setelah kamu mengkuadratkan dan melakukan substitusi?
- A. $p^2 = 5$
- B. $p^2 = 5p$
- C. $p = 25$
- D. $p^2 = \sqrt{5}$
Jawaban: B. $p^2 = 5p$
Kuadratkan kedua ruas menjadi $p^2 = 5 \sqrt{5 \sqrt{5...}}$. Bagian sisa akar sama dengan $p$, jadi hasilnya $p^2 = 5p$.
Mengkuadratkan menghilangkan akar luar, dan sisa akar disubstitusi kembali menjadi variabel aslinya.
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Dari halaman sebelumnya, kita sudah berhasil menyederhanakan bentuk tak hingga yang rumit menjadi persamaan kuadrat biasa: $x^2 = 12x$
Bagaimana cara mencari nilai $x$? Insting pertamamu mungkin adalah "langsung bagi kedua ruas dengan $x$ biar gampang!". Eits, hati-hati!
Cara yang runut dan matematis aman adalah dengan memindahkan semua suku ke satu ruas agar kita bisa memfaktorkannya: $x^2 - 12x = 0$
Keluarkan variabel $x$ dari kedua suku: $x(x - 12) = 0$
Dari pemfaktoran di atas, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi: $x = 0$ atau $x = 12$.
Karena persamaan bentuk awal $x$ adalah hasil dari akar kuadrat utama yang berisi angka-angka positif (sehingga hasilnya selalu positif), maka tidak mungkin hasilnya $0$. Kesimpulannya, nilai yang benar dan memenuhi syarat adalah $x = 12$.
Tentukan kebenaran dari pernyataan-pernyataan tentang persamaan aljabar berikut ini:
- Persamaan $x^2 = 4x$ boleh langsung diselesaikan dengan membagi kedua ruas dengan x menjadi $x=4$. — Salah
- Akar kuadrat utama (simbol $\sqrt{\dots}$) tidak akan pernah menghasilkan nilai negatif. — Benar
Membagi dengan x menghilangkan solusi x=0. Simbol akar utama (akar berindeks genap tanpa plus-minus) selalu bernilai nol atau positif.
Membagi persamaan dengan variabel menghilangkan kemungkinan solusi bernilai 0.