Teorema Sisa dan Trik Evaluasi Polinomial

Mengenal Teorema Sisa Lewat Analogi

Mencari sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk $(x - k)$ bisa dilakukan cukup dengan memasukkan nilai $x = k$ ke dalam persamaannya. Kamu tidak perlu melakukan pembagian bersusun yang panjang hanya untuk mencari sisa akhirnya.

Bayangkan sukubanyak $Q(x)$ seperti sebuah Mesin Pencetak Balok. Mesin ini punya cetakan aljabar tertentu. Kalau kita ingin tahu produk sisa saat dibagi bentuk linear, kita cukup memasukkan bahan baku berupa nilai pembuat nol dari pembaginya. Aturan inilah yang dinamakan Teorema Sisa: jika sukubanyak dibagi oleh $(x - 1)$, bahan baku yang dimasukkan adalah $x = 1$.

Pada simulasi di atas, coba amati bagaimana mesin menghitung fungsi $Q(x) = 2x^3 + 3x^2 + x - 4$ saat nilai $x$ digeser. Ketika dibagi oleh $(x - 1)$, kita cukup menghitung nilai fungsi saat $x = 1$:

$$Q(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 + (1) - 4 = 2 + 3 + 1 - 4 = 2$$

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa sisa pembagian $Q(x)$ oleh $(x - 1)$ adalah $2$. Karena itu, Opsi D pada soal yang menyatakan sisanya bernilai $5$ adalah salah. Teorema Sisa membuat proses penentuan sisa menjadi jauh lebih ringkas.

Mencari Koefisien yang Hilang

Jika diketahui sisa dari dua fungsi pembagian adalah sama, kita bisa menyamakan hasil substitusinya untuk mencari variabel yang belum diketahui.

Pada soal kita, ada dua mesin pencetak: $P(x)$ dan $Q(x)$. Namun, mesin $P(x) = x^3 + ax^2 - 2x + 6$ masih kehilangan satu komponen, yaitu nilai koefisien $a$. Petunjuk soal menyebutkan bahwa pembagian $P(x)$ dan $Q(x)$ oleh $(x + 1)$ menghasilkan sisa yang sama. Karena pembaginya $(x + 1) = (x - (-1))$, maka bahan baku yang dimasukkan ke kedua mesin adalah $x = -1$. Artinya, nilai $P(-1)$ harus tepat sama dengan $Q(-1)$.

Komponen mesin $Q(x)$ sudah lengkap, sehingga nilainya bisa kita hitung terlebih dahulu:

$$Q(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + (-1) - 4 = -2 + 3 - 1 - 4 = -4$$

Sekarang kita masukkan $x = -1$ ke dalam mesin $P(x)$:

$$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - 2(-1) + 6 = -1 + a + 2 + 6 = a + 7$$

Karena timbangan kedua sisa harus seimbang, kita peroleh persamaan aljabar:

$$a + 7 = -4 \implies a = -4 - 7 = -11$$

Nilai $a$ yang tepat adalah $-11$. Oleh karena itu, Opsi A yang menyatakan bahwa nilai $a$ adalah $-7$ bernilai salah.

Mengevaluasi Sisa Pembagian Lanjutan

Setelah persamaan sukubanyaknya lengkap, menghitung sisa untuk pembagi lain murni masalah ketelitian substitusi.

Dengan ditemukannya nilai $a = -11$, cetakan mesin $P(x)$ kini sudah utuh menjadi:

$$P(x) = x^3 - 11x^2 - 2x + 6$$

Pernyataan pada Opsi C menduga bahwa sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x - 2)$ adalah $-30$. Untuk menguji kebenarannya, kita gunakan kembali Teorema Sisa dengan memasukkan $x = 2$ ke dalam fungsi $P(x)$:

$$P(2) = (2)^3 - 11(2)^2 - 2(2) + 6$$

$$P(2) = 8 - 11(4) - 4 + 6$$

$$P(2) = 8 - 44 - 4 + 6 = -34$$

Perhitungan yang runut menghasilkan nilai sisa $-34$, bukan $-30$. Dengan demikian, Opsi C bernilai salah. Menghitung tahap demi tahap pangkat dan perkalian tanda minus mencegah kita terjebak dalam tebakan angka yang meleset.