Menaklukkan Operasi Bentuk Akar Terstruktur

Menyederhanakan Bentuk Akar

Akar bilangan besar harus dipecah menjadi perkalian angka kuadrat sempurna agar bisa dikeluarkan dari akar.

Sering kali kita melihat angka di dalam akar seperti $\sqrt{12}$ atau $\sqrt{75}$ dan merasa angka tersebut rumit atau tidak bisa dioperasikan. Padahal, sifat perkalian bentuk akar menyatakan bahwa $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. Agar bentuk akar menjadi lebih sederhana, kuncinya adalah menyederhanakan akar dengan mencari faktor perkalian yang merupakan kuadrat sempurna (seperti $4, 9, 16, 25$, dan seterusnya).

Mari kita bedah bilangan pada ukuran tanah di soal:

1. Memecah $\sqrt{12}$: Faktor dari $12$ yang merupakan kuadrat sempurna adalah $4$. Kita tulis $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

2. Memecah $\sqrt{75}$: Faktor kuadrat sempurna terbesarnya adalah $25$. Maka, $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$.

3. Memecah $\sqrt{27}$: Faktor kuadrat sempurna terbesarnya adalah $9$. Maka, $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$.

Dengan langkah ini, lebar tanah pada soal ($l = \sqrt{75} - \sqrt{27}$) berubah bentuk menjadi $5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$. Keduanya kini memiliki "ekor" akar yang sama!

Menjumlahkan Akar Sejenis

Bentuk akar hanya bisa ditambah atau dikurang jika angka di dalam akarnya sama, layaknya variabel $x$.

Banyak yang bingung saat menjumlahkan $2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$ karena mengira angka di dalam akar ikut dijumlahkan menjadi $\sqrt{6}$. Ini adalah kekeliruan fatal! Dalam aljabar, kita memperlakukan suku sejenis seperti variabel tunggal. Anggaplah bentuk akar $\sqrt{3}$ itu sebagai sebuah kotak variabel $x$. Jika kamu memiliki $2$ kotak $x$ ditambah $4$ kotak $x$, hasilnya adalah $6$ kotak $x$ ($2x + 4x = 6x$). Prinsip yang sama persis berlaku pada bentuk akar: $2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Sekarang, mari kita evaluasi ukuran panjang dan lebar tanah Pak Doni:

• Panjang tanah ($p$):

  $$p = 2\sqrt{12} + 3\sqrt{3}$$

  Dari halaman sebelumnya, kita tahu $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Substitusikan nilai ini:

  $$p = 2(2\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (4 + 3)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\text{ meter}$$

  Hasil ini membuktikan bahwa **Opsi A** ("Panjang tanah Pak Doni adalah $7\sqrt{3}$ meter") bernilai **benar**.

• Lebar tanah ($l$):

  $$l = \sqrt{75} - \sqrt{27} = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (5 - 3)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ meter}$$

  Hasil ini membuktikan bahwa **Opsi B** ("Lebar tanah Pak Doni adalah $2\sqrt{3}$ meter") juga bernilai **benar**.

Keliling dan Luas Persegi Panjang

Keliling membutuhkan penjumlahan semua sisi, sementara Luas membutuhkan perkalian antar akar.

Setelah menyederhanakan ukuran tanah Pak Doni menjadi panjang $p = 7\sqrt{3}$ meter dan lebar $l = 2\sqrt{3}$ meter, kita dapat menghitung luas dan kelilingnya secara runtut. Perhatikan perbedaan mendasar antara operasi penjumlahan pada keliling dan operasi perkalian pada luas:

• Menghitung Luas ($L = p \times l$):

  $$L = (7\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3}) = (7 \times 2) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3})$$

  Ingat sifat perkalian akar: akar sejenis yang dikalikan dengan dirinya sendiri akan menghilangkan tanda akarnya, yaitu $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$.

  $$L = 14 \times 3 = 42\text{ meter persegi}$$

  Perhitungan ini menunjukkan bahwa **Opsi C** ("Luas tanah Pak Doni adalah 42 meter persegi") bernilai **benar**.

• Menghitung Keliling ($K = 2(p + l)$):

  $$K = 2(7\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 2((7 + 2)\sqrt{3}) = 2(9\sqrt{3}) = 18\sqrt{3}\text{ meter}$$

  Sehingga **Opsi D** ("Keliling tanah Pak Doni adalah $18\sqrt{3}$ meter") juga bernilai **benar**.

• Menghitung Total Pendapatan Penjualan:

  $$\text{Pendapatan} = \text{Luas} \times \text{Harga per meter persegi} = 42 \times \text{Rp}500.000 = \text{Rp}21.000.000$$

  Maka, **Opsi E** ("Total pendapatan yang diperolehnya adalah Rp21.000.000") bernilai **benar**.