Kombinasi: Bola, Kotak, dan Peluang
Intuisi Mengambil Sekaligus
Mengambil bola secara sekaligus berarti urutan bola di tangan kita tidak diperhatikan, sehingga kita menggunakan aturan kombinasi.
Bayangkan kamu sedang meraup $3$ permen dari stoples secara bersamaan. Di dalam genggaman tanganmu, tidak ada yang namanya "permen pertama", "permen kedua", atau "permen ketiga"—semuanya terambil barengan dalam satu genggaman. Karena urutan tidak berpengaruh, susunan permen Merah-Putih-Merah sama saja dengan Putih-Merah-Merah.
Kaidah pencacahan yang mengabaikan urutan disebut kombinasi, dengan rumus umum:
$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$
di mana $n$ adalah total objek yang tersedia dan $k$ adalah banyaknya objek yang diambil.
Ketika kita mengambil $3$ bola sembarang dari total $10$ bola yang ada di kotak ($6$ merah dan $4$ putih), kita menghitung seluruh kemungkinan di ruang sampel:
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\text{ cara}$$
Artinya, pernyataan pada Opsi D benar karena total cara mengambil $3$ bola sembarang tepat berjumlah $120$ cara.
Menarget Satu Warna
Banyak cara mengambil bola dari satu kelompok warna dihitung berdasarkan jumlah bola warna tersebut saja.
Jika kita hanya ingin meraup $3$ bola merah, bola putih untuk sementara kita abaikan. Di dalam kotak terdapat $6$ bola merah. Kita ingin memilih $3$ di antaranya, sehingga perhitungannya murni menggunakan populasi bola merah:
$$C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6 - 3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\text{ cara}$$
Hasil ini membuktikan bahwa pernyataan pada Opsi A benar.
Prinsip yang sama berlaku saat kita ingin mengambil $3$ bola putih. Kita hanya menatap populasi $4$ bola putih yang tersedia, lalu mengambil $3$ bola:
$$C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4 - 3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4\text{ cara}$$
Perhitungan ini memastikan bahwa pernyataan pada Opsi C benar. Jangan tergoda menyertakan jumlah bola lain ke dalam perhitungan kombinasi jika syarat yang diminta hanya menyangkut satu kelompok warna tertentu.
Dalam sebuah laci terdapat 5 kaos kaki hitam dan 3 kaos kaki biru. Jika ingin diambil 2 kaos kaki hitam sekaligus, fokus perhitungan yang tepat untuk mencari banyak cara kejadian tersebut adalah...
- Menghitung kombinasi 2 dari 5 kaos kaki hitam
- Menghitung kombinasi 2 dari 8 seluruh kaos kaki
- Menghitung kombinasi 2 dari 3 kaos kaki biru
- Mengalikan kombinasi 2 dari 5 dengan kombinasi 2 dari 3
Jawaban: Menghitung kombinasi 2 dari 5 kaos kaki hitam
Syarat kejadian hanya meminta kaos kaki hitam, sehingga perhitungannya murni mengambil 2 dari 5 kaos kaki hitam yang tersedia, yaitu C(5, 2). Menghitung dari 8 berarti mengabaikan syarat warna, menghitung dari 3 salah sasaran ke warna biru, dan mengalikan keduanya keliru karena tidak ada kaos kaki biru yang diminta.
Banyak cara mengambil beberapa objek dari satu subkelompok dihitung murni dari jumlah objek di subkelompok tersebut.
Mencampur Warna: Aturan Perkalian
Banyak cara untuk mengambil beberapa bola dari kelompok warna berbeda yang terjadi bersamaan dihitung dengan mengalikan kombinasi masing-masing kelompok.
Saat kita meraup $3$ permen sekaligus dan menginginkan komposisi campuran—misalnya $2$ bola merah dan $1$ bola putih—kedua kejadian tersebut terikat dalam satu paket kejadian simultan. Artinya, setiap cara memilih $2$ bola merah akan langsung berpasangan dengan setiap cara memilih $1$ bola putih di genggaman yang sama.
Masing-masing bagian kita hitung kombinasinya:
Memilih $2$ bola merah dari $6$ bola merah yang ada:
$$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6 - 2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\text{ cara}$$
Memilih $1$ bola putih dari $4$ bola putih yang ada:
$$C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4 - 1)!} = 4\text{ cara}$$
Karena keduanya terjadi bersamaan, banyak caranya dikalikan:
$$15 \times 4 = 60\text{ cara}$$
Pernyataan pada Opsi B salah karena menyebutkan hasilnya $50$ cara. Angka $50$ cara bisa saja muncul jika seseorang keliru mengira isi kotak adalah $5$ merah dan $5$ putih ($C(5, 2) \times C(5, 1) = 10 \times 5 = 50$), padahal jumlah bola merah dan putih di kotak masing-masing adalah $6$ dan $4$.