Rahasia Kelipatan 4 Bilangan Berurutan

Uji Coba: Mengungkap Pola

Pernahkah kamu melihat soal aljabar abstrak seperti $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ dan merasa bingung harus mulai dari mana? Jangan panik, kamu tidak sendirian.

Langkah pertama yang paling ampuh saat menghadapi rumus abstrak adalah mengubahnya menjadi sesuatu yang nyata. Daripada langsung menebak-nebak aturan rumitnya, mari kita coba masukkan angka nyata ke dalamnya. Strategi ini disebut uji coba (substitusi nilai), dan ini adalah cara terbaik untuk memancing pola dari sebuah persamaan.

Mari kita lihat apa yang terjadi saat $n$ adalah bilangan bulat positif:

Jika $n = 1$, maka $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
Jika $n = 2$, maka $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ (yang sama dengan $24 \times 5$).
Jika $n = 3$, maka $3 \times 4 \times 5 \times 6 = 360$ (yang sama dengan $24 \times 15$).

Dari hasil uji coba sederhana ini, kita bisa melihat sebuah "benang merah": semua hasilnya adalah kelipatan 24. Kita baru saja menemukan pola yang sangat kuat, tapi apakah ini kebetulan atau sebuah hukum pasti? Di halaman selanjutnya, kita akan bongkar alasannya!

Anatomi 4 Bilangan Berurutan

Kita sudah melihat bahwa hasilnya selalu kelipatan $24$. Sekarang, mari kita bangun logikanya. Kenapa angka $24$ selalu muncul dari perkalian empat bilangan bulat berurutan?

Rahasia utamanya ada pada sifat bilangan bulat yang berbaris. Di dalam barisan bilangan bulat, kelipatan suatu angka akan selalu muncul dengan pola yang sangat teratur.

Coba bayangkan kamu mengambil sekelompok empat angka berurutan di mana pun.

Karena ada 4 angka, pasti salah satunya adalah kelipatan 4.
Karena ada lebih dari 3 angka, pasti salah satunya adalah kelipatan 3.
Di antara sisa angkanya (yang bukan kelipatan 4 tadi), pasti ada satu bilangan genap lain (kelipatan 2).

Jika kita ambil angka-angka pasti tersebut lalu kita kalikan: $4 \times 3 \times 2 = 24$. Nah, karena komponen pembentuk $24$ selalu hadir di setiap empat angka berurutan, maka hasil kali mereka pasti selalu habis dibagi 24.

Berdasarkan logika barisan bilangan yang baru kita bahas, jika kita mengambil LIMA bilangan bulat positif yang berurutan, apa hal yang PASTI selalu terjadi?

Selalu ada satu bilangan prima.
Selalu ada kelipatan 6.
Selalu ada satu bilangan kelipatan 5.
Hasil penjumlahannya habis dibagi 5.

Jawaban: Selalu ada satu bilangan kelipatan 5.

Setiap blok berisi 5 bilangan berurutan selalu memuat satu angka kelipatan 5, sama seperti 4 bilangan berurutan pasti memuat kelipatan 4.

Dalam k bilangan berurutan, pasti ada kelipatan dari angka-angka hingga k.

Bukti Elegan dengan Kombinasi

Penjelasan logika barisan tadi sangat membantu ngebangun insting, tapi kadang matematika butuh bukti formal. Gimana cara kita ngebuktiinnya pakai rumus baku seperti yang dilakukan pembahas soal?

Jawabannya: kita manfaatkan rumus Kombinasi. Menariknya, perkalian bilangan berurutan punya kaitan yang erat dengan cara kita memilih objek di peluang.

Mari kita bedah rumusnya: kombinasi $4$ unsur dari $n+3$, disimbolkan $\binom{n+3}{4}$ atau $C(n+3, 4)$. Jika dijabarkan, pembilang dari rumus ini menghasilkan $(n+3)(n+2)(n+1)n$, yang tidak lain adalah persamaan $P$ milik kita di soal! Sedangkan penyebutnya adalah $4!$, yang nilainya $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Satu fakta emas tentang kombinasi: Hasil perhitungan Kombinasi PASTI selalu bilangan bulat (kamu tidak mungkin memiliki 2,5 cara untuk memilih baju, kan?). Karena $\binom{n+3}{4}$ pasti bilangan bulat, supaya persamaan di atas valid, nilai $P$ wajib bisa dibagi habis oleh $24$. Jika $P$ tidak habis dibagi $24$, hasilnya akan pecahan, dan itu menyalahi sifat Kombinasi. Terbukti sah!