Fungsi Invers: Memotong Hitungan Panjang

Menilik Kembali Definisi Invers

Pernahkah kamu membayangkan fungsi sebagai sebuah "mesin" atau "rute perjalanan"?

Jika kita memiliki fungsi $f(x) = y$, itu artinya rute tersebut membawa kita dari titik asal $x$ menuju tujuan akhir $y$. Lalu, apa itu fungsi invers? Sederhananya, invers adalah tiket untuk pulang kembali ke tempat asal.

Fungsi $f^{-1}(y)$ membawa output $y$ kembali ke input awal $x$.

Ingat kembali konsep dasar ini: jika sebuah fungsi memetakan $k(3)=7$, maka inversnya pasti memetakan balik $k^{-1}(7)=3$. Ini bukan cuma sekadar cara baca notasi, tapi sifat fundamental yang sering menjadi kunci pemecahan soal dengan cepat tanpa harus repot mencari rumus fungsinya.

Rute Aljabar: Panjang & Rawan Salah

Berdasarkan jawaban sebelumnya, saat melihat $h^{-1}(a) = 20$, insting pertamamu mungkin mencari rumus fungsi inversnya. Sesuai preferensimu untuk melihat langkah aljabar yang runtut, mari kita lihat apa yang terjadi kalau kita mengambil rute ini.

Pertama, kita harus mencari rumus komposisi $h(x) = g(f(x))$: $h(x) = g(5x-12)$ $h(x) = 2(5x-12) + 3$ $h(x) = 10x - 24 + 3 = 10x - 21$

Kedua, kita cari fungsi inversnya: $y = 10x - 21$ $10x = y + 21$ $x = \frac{y + 21}{10}$ Jadi, $h^{-1}(x) = \frac{x + 21}{10}$.

Ketiga, kita masukkan $a$ ke fungsi invers untuk mencari nilainya: $h^{-1}(a) = 20$ $\frac{a + 21}{10} = 20$ $a + 21 = 200 \implies a = 179$

Keempat, untuk mencari nilai $q$, kita hitung $h(20)$: $h(20) = 10(20) - 21 = 200 - 21 = 179$.

Keduanya memang sama-sama bernilai $179$. Tapi coba perhatikan panjangnya langkah di atas!

Jalan Pintas: Memakai Sifat Pemetaan

Mari kita tinggalkan aljabar panjang tadi dan terapkan definisi pemetaan dari halaman pertama ke soal ini.

Diketahui pada soal bahwa $h^{-1}(a) = 20$.

Berdasarkan definisi bolak-balik $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$, kita bisa langsung "memutar" persamaan tadi. Jika invers dari $h$ membawa $a$ menuju $20$, maka fungsi aslinya pasti membawa $20$ kembali ke $a$.

Artinya, $h^{-1}(a) = 20$ secara logis langsung berarti $h(20) = a$.