Membedah Persamaan dengan Variabel di Dua Ruas

Translasi dan Kebuntuan

Pernahkah kamu melihat persamaan yang tampak seperti teka-teki kata-kata? Mari kita mulai dari bentuk asli dari masalah yang kita hadapi:

$p \times p \times p = p + p + p$

Sesuai dengan hukum dasar aljabar, perkalian berulang dari sebuah bilangan bisa diringkas menjadi eksponen (pangkat). Jadi, $p \times p \times p$ adalah $p^3$. Di sisi lain, penjumlahan berulang dari bilangan yang sama adalah definisi dari perkalian dengan koefisien, sehingga $p + p + p$ menjadi $3p$.

Sekarang kita memiliki persamaan baku yang lebih ringkas: $p^3 = 3p$

Strategi Pindah Ruas

Ketika menghadapi variabel di kedua ruas, insting pertama kita mungkin adalah "coret saja $p$-nya!" atau dengan kata lain, membagi kedua ruas dengan $p$.

Lalu, apa langkah matematis yang valid dan aman? Kumpulkan semuanya di satu tempat.

ilustrasi

Seperti sebuah neraca timbangan, kita harus menjaga keadilan (keseimbangan ekuivalensi aljabar). Kurangi kedua ruas dengan $3p$ (Hukum Kanselasi Penjumlahan).

Ruas kanan: $3p - 3p = 0$Ruas kiri: $p^3 - 3p$

Hasilnya, kita mendapatkan sebuah persamaan baru yang mengumpulkan semua informasi di satu sisi: $p^3 - 3p = 0$

Tujuan utama dari langkah ini adalah membuat salah satu ruas menjadi nol. Kenapa harus nol? Karena "sama dengan nol" adalah pintu masuk mutlak untuk menggunakan prinsip-prinsip pemfaktoran yang akan kita pelajari selanjutnya.

Mengapa kita tidak dianjurkan untuk langsung membagi kedua ruas $p^3 = 3p$ dengan $p$ (menjadi $p^2 = 3$)?

  • A. Karena bentuk $p^3 = 3p$ tidak bisa dibagi dengan $p$ secara matematis.
  • B. Karena jika $p=0$, kita melakukan pembagian dengan nol, sehingga solusi tersebut akan hilang.
  • C. Karena akan menghasilkan persamaan yang salah: $p^2 = 3p$.
  • D. Karena variabel hanya boleh ditambahkan atau dikurangkan, tidak boleh dibagi.

Jawaban: B. Karena jika $p=0$, kita melakukan pembagian dengan nol, sehingga solusi tersebut akan hilang.

Membagi variabel di kedua ruas menghilangkan kemungkinan variabel itu bernilai nol dari penyelesaian, padahal nol bisa jadi adalah salah satu jawabannya.

Membagi persamaan dengan variabel akan menghilangkan solusi jika variabel tersebut bernilai nol.

Faktorisasi (Sifat Distributif)

Sekarang kita punya persamaan $p^3 - 3p = 0$. Bentuk ini merupakan pengurangan dari dua suku. Untuk memecahkannya, kita perlu mengubahnya menjadi bentuk perkalian. Di sinilah sifat distributif bekerja secara terbalik.

ilustrasi

Ingat kembali sifat distributif: $a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)$.

Kita bisa menerapkan ini secara terbalik pada $p^3 - 3p$. Mari kita bedah:

Karena kedua suku memiliki "faktor persekutuan" yaitu $p$, kita bisa 'menarik keluar' $p$-nya dan meletakkannya di luar tanda kurung:

$p(p^2 - 3) = 0$

Jika kamu memiliki persamaan $x^4 - 5x = 0$, manakah bentuk pemfaktoran yang paling tepat dengan menarik keluar faktor persekutuannya?

  • A. $x^2(x - 5) = 0$
  • B. $x(x^2 - 5x) = 0$
  • C. $x(x^3 - 5) = 0$
  • D. $x^2(x^2 - 5) = 0$

Jawaban: C. $x(x^3 - 5) = 0$

Faktor persekutuan dari $x^4$ ($x \cdot x^3$) dan $5x$ ($5 \cdot x$) adalah $x$. Menarik keluar $x$ menyisakan $x^3$ pada suku pertama dan $5$ pada suku kedua.

Pemfaktoran mengeluarkan faktor persekutuan menggunakan sifat distributif kebalikan.