Deret Geometri sebagai Faktorisasi Aljabar

Menyambungkan Pemfaktoran dan Deret

Bentuk $1 + a + a^2 + \dots + a^{n-1}$ adalah hasil faktorisasi dari $(1 - a^n)$ dibagi $(1 - a)$.

Di aljabar dasar, kita sudah sangat akrab dengan pemfaktoran selisih kuadrat:

$$1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$$

Jika diputar menjadi pembagian, bentuknya menjadi $\frac{1 - a^2}{1 - a} = 1 + a$. Bagaimana jika derajat pangkatnya dinaikkan? Mari kita amati pola perkalian selisih kubik:

$$(1 - a)(1 + a + a^2) = 1(1 + a + a^2) - a(1 + a + a^2)$$

$$= (1 + a + a^2) - (a + a^2 + a^3) = 1 - a^3$$

Suku-suku tengahnya saling meniadakan (telescoping), menyisakan hanya suku pertama dan terakhir!

Proses pembagian di atas memperlihatkan bahwa membagi $(1 - a^3)$ dengan $(1 - a)$ menghasilkan suku-suku berurutan $1 + a + a^2$. Bentuk deret aljabar $1 + a + a^2 + \dots$ ini persis seperti 'membuka bungkus' dari pecahan $\frac{1-a^n}{1-a}$, layaknya faktorisasi aljabar biasa yang diurai tahap demi tahap.

Secara umum, pola ini berlaku untuk sembarang bilangan bulat positif $n$:

$$1 - a^n = (1 - a)(1 + a + a^2 + \dots + a^{n-1})$$

Sehingga, kita peroleh identitas pembagian yang sangat rapi:

$$\frac{1 - a^n}{1 - a} = 1 + a + a^2 + \dots + a^{n-1}$$

Pola pemfaktoran aljabar ini sering muncul pada soal limit, faktorisasi polinomial derajat tinggi, atau penyederhanaan fungsi rasional.

Membedah Elemen Deret Geometri

Penjumlahan pangkat polinomial berurutan adalah kasus khusus deret geometri dengan rasio sebesar basis pangkatnya.

Bentuk penjumlahan hasil faktorisasi tadi secara formal dinamakan deret geometri, yaitu penjumlahan berurutan dari suku-suku yang memiliki perbandingan tetap.

Mari kita bedah susunan suku dari pembilang pada soal:

$$1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5$$

1. Suku Pertama ($U_1$): Suku awalnya adalah $1$ (atau $a^0$).

2. Rasio ($r$): Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan $a$. Jadi rasionya adalah $r = a$.

3. Banyak Suku ($n$): Suku berjalan dari pangkat $0$ ($a^0 = 1$) sampai pangkat $5$ ($a^5$). Total sukunya bukan $5$, melainkan $5 - 0 + 1 = 6$ suku.

Dengan rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri berhingga:

$$S_n = \frac{U_1(1 - r^n)}{1 - r}$$

Untuk $U_1 = 1$, $r = a$, dan $n = 6$, jumlahnya tepat:

$$S_6 = \frac{1(1 - a^6)}{1 - a} = \frac{1 - a^6}{1 - a}$$

Eksekusi Aljabar pada Persamaan

Menyederhanakan persamaan menjadi kesamaan dua nilai mutlak identik akan langsung menunjukkan konstanta pembaginya bernilai $1$.

Sekarang mari kita kembali ke persamaan asli yang diberikan pada soal:

$$\frac{1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5}{k} = \frac{1 - a^6}{1 - a}$$

Di halaman sebelumnya, kita telah membuktikan secara aljabar bahwa pembilang pada ruas kiri bernilai sama persis dengan pecahan pada ruas kanan:

$$1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 = \frac{1 - a^6}{1 - a}$$

Agar perhitungannya terlihat jelas dan bersih, misalkan bentuk pecahan tersebut sebagai sebuah variabel $X$:

$$X = \frac{1 - a^6}{1 - a}$$

Substitusikan $X$ ke dalam persamaan soal:

$$\frac{X}{k} = X$$

Karena $a \neq 1$, nilai $X$ terdefinisi dan bukan nol. Kita dapat membagi kedua ruas dengan $X$:

$$\frac{1}{k} = 1 \implies k = 1$$