Bakteri Membelah: Eksponensial vs Linear

Memetakan Timeline Pertumbuhan

Memecah masalah menjadi segmen waktu yang jelas akan memudahkan perhitungan saat ada perubahan kondisi. Pada soal cerita pertumbuhan populasi, kesalahan umum yang sering terjadi adalah menghitung dari titik awal langsung ke akhir seolah-olah kondisinya terus berjalan konstan, padahal ada interupsi di tengah jalan berupa pemindahan sebagian bakteri.

Garis waktu pembelahan bakteri dari pukul 08.00 hingga 11.00 dengan pembagian populasi di pukul 10.00.

Mari kita petakan jalannya waktu ke dalam dua segmen:

  1. Segmen Pertama ($08.00 - 10.00$): Waktu pengamatan berlangsung selama $2\text{ jam}$ atau $120\text{ menit}$. Karena pembelahan biner terjadi setiap $15\text{ menit}$, kita peroleh banyaknya periode pembelahan:

    $$n = \frac{120}{15} = 8\text{ periode}$$

  2. Perhitungan Populasi jam $10.00$: Perkembangbiakan bakteri mengikuti pola barisan geometri dengan rasio $r = 2$ (membelah dua). Dengan populasi awal $20$ bakteri, jumlah sebelum dipindahkan adalah:

    $$20 \times 2^8 = 20 \times 256 = 5.120\text{ bakteri}$$

Perhitungan ini menegaskan bahwa Opsi A bernilai Benar. Sebelum melangkah ke jam $11.00$, nilai $5.120$ inilah yang menjadi dasar baru sebelum sebagian populasi dipindahkan ke cawan lain.

Jebakan Pangkat vs Kali

Pertumbuhan geometri bergantung pada pemangkatan rasio, bukan mengalikan rasio dengan jumlah periode. Tepat pada pukul $10.00$, sebanyak $50\%$ bakteri dipindahkan, sehingga cawan pertama kini menyisakan:

$$50\% \times 5.120 = 2.560\text{ bakteri}$$

Dari pukul $10.00$ hingga $11.00$ selang waktunya adalah $60\text{ menit}$, yang berarti terjadi $4\text{ periode}$ pembelahan baru ($60 / 15 = 4$). Di sinilah jebakan pemikiran sering muncul: banyak orang tergoda mengalikan sisa bakteri dengan angka $4$, sehingga menghasilkan $2.560 \times 4 = 10.240$. Perhitungan linear ini keliru, dan inilah yang membuat Opsi B bernilai Salah.

Pada barisan geometri, pertumbuhan terjadi secara eksponensial. Faktor pengali untuk $4\text{ periode}$ bukanlah $\times 4$, melainkan $2^4 = 16$. Dengan demikian, jumlah bakteri di cawan pertama pada pukul $11.00$ yang sebenarnya adalah:

$$2.560 \times 2^4 = 2.560 \times 16 = 40.960\text{ bakteri}$$

Perbedaan antara perkalian biasa dan pemangkatan rasio ini melonjak drastis hanya dalam beberapa siklus pembelahan. Pola pelipatgandaan eksponensial seperti ini juga menjadi dasar perhitungan pada peluruhan zat radioaktif, penyebaran infeksi virus, dan akumulasi bunga majemuk.

Sebuah virus komputer menggandakan diri setiap 1 jam. Jika pada pukul 12.00 tercatat ada 100 virus, berapakah jumlah virus tersebut pada pukul 15.00?

  • 300 virus
  • 800 virus
  • 400 virus
  • 600 virus

Jawaban: 800 virus

Waktu dari pukul 12.00 ke 15.00 adalah 3 jam, yang berarti terjadi 3 periode penggandaan (n = 3). Karena pembelahan bersifat eksponensial (barisan geometri), jumlah virus dihitung dengan memangkatkan rasio: $100 \times 2^3 = 100 \times 8 = 800$ virus. Pengecoh 300 berasal dari perkalian linear ($100 \times 3$), pengecoh 400 berasal dari salah hitung periode ($100 \times 2^2$), dan 600 berasal dari salah operasi ($100 \times (2 \times 3)$).

Membedakan perhitungan pertumbuhan eksponensial dengan perkalian linear sederhana.

Total Populasi Keseluruhan

Jika semua bagian populasi yang dipisah memiliki laju pertumbuhan yang sama, total populasi setara dengan populasi asalnya jika tidak dipisah. Setelah pemindahan pada pukul $10.00$, cawan pertama dan cawan kedua sama-sama menampung $2.560$ bakteri.

Karena kedua cawan berada dalam kondisi lingkungan yang sama dan membelah setiap $15\text{ menit}$, cawan kedua juga menghasilkan populasi yang persis sama pada pukul $11.00$, yaitu $40.960$ bakteri. Jumlah total seluruh koloni di kedua cawan adalah:

$$40.960 + 40.960 = 81.920\text{ bakteri}$$

Angka ini membuktikan bahwa Opsi C bernilai Salah. Angka $20.480$ pada opsi tersebut muncul akibat menggandakan hasil yang keliru dari perhitungan linear sebelumnya ($10.240 + 10.240$).

Diagram pohon pelestarian total populasi bakteri yang terbagi dua lalu digabungkan kembali.

Ada cara berpikir cepat yang sangat praktis: selama laju pembelahan pada kedua cawan identik, pemisahan fisik bakteri ke dua wadah tidak mengubah hukum pertumbuhannya. Kamu bisa memperlakukan seluruh $5.120$ bakteri dari pukul $10.00$ seolah-olah tidak pernah dipisahkan, lalu langsung menghitung pertumbuhannya selama $4\text{ periode}$:

$$5.120 \times 2^4 = 5.120 \times 16 = 81.920\text{ bakteri}$$

Prinsip kesatuan ini sangat membantu menyederhanakan perhitungan saat menghadapi soal bertingkat banyak tanpa perlu menghitung wadah satu per satu.

1.000 sel ragi pada pukul 01.00 dipisahkan secara merata ke dalam dua wadah berbeda, masing-masing berisi 500 sel. Seluruh sel ragi menggandakan diri setiap jam sekali. Tentukan kebenaran pernyataan berikut!

  • Total sel ragi pada jam 3 dapat dihitung dengan langsung mengalikan 1000 dengan 2^2. — Benar
  • Setiap wadah akan berisi 2000 sel pada jam 3. — Benar

Pernyataan 1 Benar: Karena kedua wadah mengalami penggandaan dengan laju yang persis sama, total populasi pada jam 3 dapat dihitung langsung dari total awal: $1.000 \times 2^2 = 4.000$ sel. Pemisahan fisik tidak mengubah akumulasi total. Pernyataan 2 Benar: Masing-masing wadah bermula dari 500 sel, dan setelah 2 jam (2 periode) berkembang menjadi $500 \times 2^2 = 500 \times 4 = 2.000$ sel.

Menyadari bahwa pemecahan populasi yang merata dengan laju pertumbuhan sama tidak mengubah total akhir yang dihitung secara kesatuan.