Vektor dan Trik Substitusi Blok

Menerjemahkan Relasi Vektor

Operasi vektor seperti dot product dan panjang vektor selalu bisa dipetakan ke dalam bentuk aljabar komponennya.

Saat dua vektor dioperasikan melalui perkalian titik (dot product), orientasi arah di ruang tiga dimensi melebur menghasilkan satu nilai skalar murni (bilangan riil). Begitu pula dengan kuadrat panjang suatu vektor, hasilnya adalah penjumlahan kuadrat tiap-tiap komponennya.

Ilustrasi neraca penyeimbang yang menyatukan komponen ruang tiga dimensi menjadi satu nilai skalar seimbang.

Mari kita bedah kondisi pertama dari soal, yaitu $\vec u \cdot \vec v = |\vec u|^2$, dengan $\vec u=(a,b,c)$ dan $\vec v=(b,a,3)$:

  1. Dot product kedua vektor: Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan:

    $$\vec u \cdot \vec v = (a)(b) + (b)(a) + (c)(3) = 2ab + 3c$$

  2. Kuadrat panjang vektor $\vec u$: Jumlahkan kuadrat seluruh komponennya:

    $$|\vec u|^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

Sekarang kita samakan kedua ruas sesuai persamaan:

$$2ab + 3c = a^2 + b^2 + c^2$$

Pindahkan suku $2ab$ dan $c^2$ agar suku-suku yang sejenis berkumpul:

$$3c - c^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Perhatikan ruas kanan: bentuk $a^2 - 2ab + b^2$ adalah bentuk kuadrat sempurna yang identik dengan $(a-b)^2$. Maka kita peroleh relasi kunci pertama:

$$3c - c^2 = (a-b)^2$$

Panjang Selisih Vektor

Panjang selisih dua vektor bisa diturunkan langsung dengan mengurangkan tiap komponennya sebelum dikuadratkan.

Secara geometris di ruang 3D, jika $\vec u$ dan $\vec v$ digambar berpangkal di titik yang sama, vektor selisih $\vec u - \vec v$ merepresentasikan ruas garis berarah yang menghubungkan ujung $\vec v$ menuju ujung $\vec u$. Oleh karena itu, panjang $|\vec u - \vec v|$ tidak lain adalah jarak linier antara kedua ujung vektor tersebut.

Diagram vektor u dan v serta vektor selisih u-v di ruang dimensi tiga.

Komponen selisih dihitung per sumbu koordinat:

$$\vec u - \vec v = (a-b, \, b-a, \, c-3)$$

Maka panjang kuadrat selisih vektornya adalah jumlah kuadrat dari setiap komponen:

$$|\vec u - \vec v|^2 = (a-b)^2 + (b-a)^2 + (c-3)^2$$

Karena $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$, kedua suku pertama bisa digabung menjadi $2(a-b)^2$. Sesuai kondisi soal dengan $|\vec u - \vec v|^2 = 5$, kita peroleh:

$$2(a-b)^2 + (c^2 - 6c + 9) = 5$$

Kurangkan kedua ruas dengan $5$:

$$2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 = 0$$

Jika diketahui vektor $\vec p = (x, 2, y)$ dan $\vec q = (1, x, 3)$, manakah uraian ketiga komponen di bawah tanda akar yang benar untuk menghitung panjang $|\vec p - \vec q|$?

  • (x-1)^2, (2-x)^2, (y-3)
  • (x-1)^2, (2-x)^2, (y-3)^2
  • x^2-1^2, 2^2-x^2, y^2-3^2
  • (x+1)^2, (2+x)^2, (y+3)^2

Jawaban: (x-1)^2, (2-x)^2, (y-3)^2

Komponen selisih dihitung dengan mengurangkan komponen yang bersesuaian per sumbu: (x-1), (2-x), dan (y-3). Untuk menghitung panjang vektor di bawah tanda akar, masing-masing komponen selisih ini harus dikuadratkan sebelum dijumlahkan, yaitu (x-1)^2, (2-x)^2, dan (y-3)^2. Opsi A keliru karena suku ketiga lupa dikuadratkan. Opsi C keliru karena mengurangkan hasil kuadrat, padahal harus dikurangkan dulu baru dikuadratkan. Opsi D keliru karena menjumlahkan komponen alih-alih mengurangkannya.

Mengkuadratkan komponen selisih vektor

Substitusi Kardus Blok

Terkadang kita tidak perlu mengetahui nilai tunggal tiap variabel; kita bisa mensubstitusi satu kelompok variabel secara utuh.

Soal matematika tingkat lanjut sering menampilkan banyak variabel (seperti $a, b, c$), tetapi jumlah persamaan yang diberikan terlihat kurang. Kuncinya adalah mengenali kelompok variabel yang berulang dan memperlakukannya sebagai satu kesatuan. Strategi ini disebut Substitusi Blok.

Ilustrasi dua kardus modular yang saling bertukar tempat secara utuh di atas meja kerja.

Bayangkan bentuk $(a-b)^2$ sebagai sebuah kardus tertutup. Kita tidak perlu repot membuka kardus untuk mencari tahu berapa nilai $a$ dan berapa nilai $b$. Cukup amati kesetaraan nilai kardus tersebut dari persamaan yang sudah kita dapatkan:

Sekarang, pindahkan "kardus" tersebut secara utuh ke dalam persamaan kedua dengan mengganti setiap $(a-b)^2$ menjadi $(3c - c^2)$:

$$2(3c - c^2) + c^2 - 6c + 4 = 0$$

Perhatikan keajaibannya: variabel $a$ dan $b$ lenyap seketika, menyisakan persamaan satu variabel $c$ saja!

Banyak siswa terburu-buru menebak angka seperti Opsi C ($3$), Opsi A ($1$), atau Opsi D ($4$) hanya karena angka-angka itu tampak di komponen vektor soal atau hasil operasi sepintas, akibat panik melihat variabel $a$ dan $b$ yang tak kunjung tereliminasi satu per satu. Dengan Substitusi Blok, kebuntuan itu langsung teratasi.

Diketahui dua persamaan: $x^2 + y^2 = z - 2$ dan $3(x^2 + y^2) + z = 10$. Langkah substitusi manakah yang paling cepat dan tepat untuk mencari nilai $z$?

  • Mengganti kelompok $x^2 + y^2$ langsung dengan $z - 2$ ke dalam persamaan kedua.
  • Memecah bentuk $x^2 + y^2$ menjadi $(x+y)^2 - 2xy$ lalu mengeliminasinya satu per satu.
  • Menyatakan $x = \sqrt{z - 2 - y^2}$ lalu memasukkannya dengan bentuk akar ke persamaan kedua.
  • Menjumlahkan langsung kedua persamaan tanpa mengubah bentuk suku-sukunya terlebih dahulu.

Jawaban: Mengganti kelompok $x^2 + y^2$ langsung dengan $z - 2$ ke dalam persamaan kedua.

Langkah tercepat dan paling efisien adalah Substitusi Blok: kelompok (x^2 + y^2) pada persamaan pertama langsung bernilai (z - 2). Karena kelompok yang persis sama muncul sebagai satu blok di persamaan kedua yaitu 3(x^2 + y^2), kita tinggal menggantinya menjadi 3(z - 2) + z = 10, sehingga persamaan langsung bersih menjadi persamaan satu variabel z. Opsi B dan C justru memperumit aljabar karena memunculkan suku baru (akar atau xy), sedangkan Opsi D tidak mengeliminasi variabel x dan y.

Memahami konsep substitusi blok aljabar utuh