Membongkar Pernyataan Majemuk Logika

Menghadapi 'Monster' Kalimat Panjang

Pernah merasa pusing saat melihat soal dengan simbol logika yang panjang dan penuh kurung seperti $(\sim p \lor q) \rightarrow (p \land q)$? Tenang saja, kamu tidak sendirian! Apalagi jika soal seperti ini jarang ditemui sebelumnya.

Kunci menghadapinya adalah: jangan mencoba menelan semuanya sekaligus.

Sama seperti aturan hitung campuran KABATAKU (Kali-Bagi-Tambah-Kurang) di matematika dasar, logika matematika juga punya urutan pengerjaan. Jika di matematika kita menghitung operasi di dalam kurung terlebih dahulu seperti pada $2 + (3 \times 4)$, di logika kita juga mengevaluasi kelompok di dalam kurung terdalam terlebih dulu.

Simbol kurung $( \dots )$ adalah cara pembuat soal memberitahu kita, "Hei, selesaikan kelompok ini dulu sebelum kamu gabungkan nilainya dengan yang lain di sebelahnya!"

Jadi, alih-alih melihatnya sebagai satu kalimat panjang yang rumit, anggap saja ini sebagai susunan kepingan lego kecil yang harus kita rakit satu per satu dari bagian terdalam.

Review Kilat: 'Dan' serta 'Atau'

Sebelum merakit bagian dalam kurung tadi, mari pastikan kita ingat cara kerja perekatnya: Konjungsi ($\land$ / Dan) serta Disjungsi ($\lor$ / Atau).

Bayangkan sebuah situasi kehidupan nyata. Syarat masuk ke sebuah wahana bermain air adalah "membawa payung" ($p$) dan "memakai sepatu bot" ($q$).

Jika aturannya menggunakan kata Dan ($\land$), peraturannya sangat ketat. Kamu wajib memenuhi KEDUANYA. Kalau kamu rajin bawa payung ($p = Benar$) tapi lupa tidak pakai sepatu bot ($q = Salah$), maka kamu gagal masuk ($p \land q = Salah$). Seperti kata pepatah, "karena nila setitik, rusak susu sebelanga". Satu saja syarat yang bernilai Salah akan membuat seluruh pernyataan 'Dan' menjadi Salah.

Sebaliknya, aturan dengan kata Atau ($\lor$) jauh lebih santai. Syarat ini cukup dipenuhi minimal salah satu saja. Jika aturannya "membawa payung ATAU memakai sepatu bot", dan kamu datang bawa payung ($p = Benar$) tapi pakai sandal jepit basah ($q = Salah$), kamu tetap boleh masuk! Pernyataan 'Atau' akan bernilai Salah HANYA JIKA kamu benar-benar tidak membawa keduanya.

Implikasi Sebagai Sebuah Janji Bersyarat

Di tahap diagnosa, kamu menjawab dengan benar bahwa nilai dari $Salah \rightarrow Salah$ adalah $Benar$. Mari kita pertegas mengapa logika ini sangat masuk akal di dunia nyata.

Operator utama di soal kita adalah tanda panah ($\rightarrow$), yang disebut Implikasi. Banyak yang merasa ganjil kenapa hal yang salah malah menghasilkan nilai "Benar". Mari kita lihat implikasi bukan sebagai rumus yang dihafalkan, tapi sebagai sebuah janji bersyarat.

Bayangkan seorang teman berjanji kepadamu: "JIKA besok tidak hujan (Syarat), MAKA saya akan datang (Hasil)."

Kapan kamu bisa menuduh temanmu sebagai pembohong sehingga janjinya dinilai Salah? Tentu saja hanya saat besok benar-benar tidak hujan, tapi dia malah tidak datang. Saat Syarat terpenuhi (Benar) tapi Hasil tidak dilakukan (Salah), barulah janjinya batal dan ia ingkar ($B \rightarrow S = S$).

Lalu, bagaimana kalau keesokan harinya ternyata Hujan (Syarat bernilai Salah)? Temanmu akhirnya memutuskan untuk Tidak Datang (Hasil bernilai Salah). Pertanyaannya: apakah temanmu melanggar janji? Tentu tidak! Kan dia cuma berjanji akan datang kalau tidak hujan. Karena syarat awalnya saja sudah tidak terpenuhi (hujan), dia bebas dari tuntutan janji tersebut.

Karena dia tidak ingkar janji, maka status kalimat janjinya secara logika tetap utuh alias dinilai Benar. Itulah mengapa sebuah janji yang syarat awalnya sudah Salah, berujung pada hasil yang Salah pula, akan dievaluasi sebagai hal yang wajar dan konsisten: $S \rightarrow S = B$.