Misteri Lompatan di Barisan Geometri
Berapa Kali Kita Melompat?
Bayangkan kamu sedang berdiri di tepi sungai. Kamu berada di ujung awal, yaitu sebuah batu pijakan dengan angka $2$. Kamu ingin menyeberang ke batu di ujung seberang yang berangka $162$.
Karena jaraknya terlalu jauh, kamu memutuskan untuk menyisipkan $3$ batu pijakan tambahan di tengah-tengah sungai tersebut.
Sekarang, mari berhitung! Dari posisi awalmu ke batu pijakan pertama, itu adalah lompatan pertama. Dari batu ke-$1$ ke batu ke-$2$ adalah lompatan kedua, dan seterusnya sampai kamu tiba di ujung akhir.
Ternyata, walau kita hanya menaruh $3$ batu pijakan di tengah, kita butuh $4$ kali lompatan untuk sampai dari awal ke akhir! Rumus rahasianya sederhana: jumlah lompatan (jarak antar angka) selalu satu lebih banyak dari jumlah batu yang disisipkan.
Jika kamu menyisipkan 5 angka di antara dua angka ujung, berapa banyak 'lompatan' (perkalian rasio) yang terjadi dari ujung awal ke ujung akhir?
- A. 4 lompatan
- B. 5 lompatan
- C. 6 lompatan
- D. 7 lompatan
Jawaban: C. 6 lompatan
Jumlah lompatan selalu 1 lebih banyak dari jumlah angka yang disisipkan. 5 sisipan = 6 lompatan.
Jumlah lompatan antar suku selalu berjumlah k + 1 jika k adalah banyak bilangan yang disisipkan.
Menemukan 'Jauhnya' Lompatan
Dalam barisan geometri, setiap kali kita "melompat" ke angka berikutnya, itu berarti kita sedang mengalikan angka sebelumnya dengan sebuah rasio (kita sebut $r$).
Kita mulai dari angka $2$ dan melompat $4$ kali untuk sampai ke angka $162$. Artinya, angka $2$ dikalikan dengan $r$, lalu dikali $r$, dikali $r$, dan dikali $r$ lagi sampai hasilnya mencapai $162$.
Secara matematis, kita bisa merangkum perkalian berulang ini menjadi pangkat: $2 \times r^4 = 162$
Kalau kita bagi kedua sisi dengan $2$, kita akan mendapatkan: $r^4 = 81$
Nah, angka berapakah yang kalau dikalikan dirinya sendiri sebanyak empat kali hasilnya $81$? $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$. Yap, jawabannya adalah $3$!
Berdasarkan prinsip lompatan, jika dari angka 5 kita melompat 3 kali dalam barisan geometri dan berakhir di angka 40, persamaan mana yang mendeskripsikan kejadian ini?
- A. 5 × r = 40
- B. 5 × r³ = 40
- C. 5 × 3r = 40
- D. 5 × r⁴ = 40
Jawaban: B. 5 × r³ = 40
Melompat 3 kali berarti mengalikan angka awal dengan rasio (r) sebanyak 3 kali secara berurutan, alias r³.
Total jarak lompatan di barisan geometri adalah rasio (r) dipangkatkan dengan jumlah lompatan.
Membangun Barisannya
Sekarang kita sudah punya kunci utamanya: angka awal adalah $2$ dan rasio pengalinya (jauh lompatannya) adalah $3$. Dengan dua modal ini, teka-teki seluruh angka yang tadinya disembunyikan kini bisa terbuka!
Mari kita buka nilai dari setiap lompatannya satu per satu secara berurutan:
Titik awal: $2$
Lompatan 1: $2 \times 3 = 6$
Lompatan 2: $6 \times 3 = 18$
Lompatan 3: $18 \times 3 = 54$
Lompatan 4 (akhir): $54 \times 3 = 162$
Kalau dijejerkan, barisan seutuhnya menjadi: $2, 6, 18, 54, 162$.