Kombinasi Partisi: Membagi Kelompok

Memilah Elemen Bebas dan Tetap

Sebelum memakai rumus apa pun, pastikan kita memisahkan elemen yang posisinya sudah dikunci dengan elemen yang masih bebas diacak.

Dalam persoalan pembagian kelompok atau partisi, langkah awal yang paling krusial adalah mendata siapa yang posisinya sudah pasti dan siapa yang belum mendapatkan tempat. Bayangkan kita sedang membentuk tim futsal. Dua orang kapten sudah pasti berada di posisinya masing-masing di lapangan. Kita tidak perlu mengocok atau memilih kapten lagi, melainkan hanya perlu mengundi para pemain cadangan untuk melengkapi posisi yang masih lowong.

Pada persoalan perjalanan ini, 2 orang pemilik mobil bertindak sebagai pengemudi utama. Artinya, kedua orang ini sudah memiliki tempat duduk tetap di balik kemudi:

• Jumlah penumpang bebas: Dari total 8 orang, 2 orang sudah menempati kursi pengemudi. Berarti, orang yang masih bebas diacak untuk masuk ke mobil adalah:

  $$8 - 2 = 6\text{ orang}$$

  Perhitungan ini membuktikan bahwa **Opsi A benar**.

• Kapasitas tersisa per mobil: Tiap mobil memang berkapasitas 5 orang, tetapi angka tersebut sudah mencakup pengemudi. Karena 1 kursi kemudi sudah terisi permanen, maka sisa tempat duduk untuk penumpang adalah:

  $$5 - 1 = 4\text{ kursi}$$

  Oleh karena itu, **Opsi B salah** karena menganggap kapasitas penumpang murni masih 5 orang tanpa memperhitungkan pengemudi yang memakan satu kursi.

Menghitung Satu Distribusi

Banyak cara mendistribusikan sejumlah orang ke dua kelompok yang berbeda dapat dihitung dengan kombinasi karena urutan masuk mobil tidak penting.

Sama seperti memilih pemain pengganti di tim futsal, urutan pemanggilan nama tidak mengubah susunan tim. Memilih Budi lalu Andi menghasilkan isi tim yang persis sama dengan memilih Andi lalu Budi. Sifat pemilihan tanpa memperhatikan urutan inilah yang mendasari penggunaan kombinasi ($\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$).

Mari kita bedah skenario distribusi pertama: 2 orang di mobil pertama dan 4 orang di mobil kedua.

1. Dari 6 penumpang yang tersedia, kita memilih 2 orang untuk menempati mobil pertama:

   $$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\text{ cara}$$

2. Setelah 2 orang terpilih masuk ke mobil pertama, berapa pilihan tersisa untuk mobil kedua? Tersisa 4 orang untuk mengisi 4 kursi yang ada. Banyak caranya adalah:

   $$\binom{4}{4} = 1\text{ cara}$$

Artinya, saat 2 orang sudah ditentukan masuk ke mobil pertama, 4 orang sisanya otomatis terpaksa menempati mobil kedua. Berdasarkan prinsip perkalian:

$$\text{Banyak cara} = \binom{6}{2} \times \binom{4}{4} = 15 \times 1 = 15\text{ cara}$$

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi C benar. Kita tidak perlu menghitung ulang mobil kedua secara terpisah karena kelompok kedua merupakan komplemen langsung dari kelompok pertama.

Total Kemungkinan Seluruh Kasus

Bila ada beberapa skenario pembagian yang mungkin, total cara adalah penjumlahan dari hasil masing-masing skenario tersebut.

Karena kapasitas tersisa untuk penumpang di setiap mobil dibatasi maksimal 4 orang, maka 6 penumpang bebas tidak bisa dibagi sembarangan. Formasi ekstrem seperti $(1, 5)$ atau $(6, 0)$ mustahil dilakukan karena ada mobil yang kelebihan muatan (melebihi batas 4 kursi penumpang). Skenario yang diizinkan hanyalah formasi $(2, 4)$, $(3, 3)$, dan $(4, 2)$.

Mari kita hitung satu per satu formasi yang tersisa:

• Formasi seimbang $(3, 3)$: Mobil pertama diisi 3 orang dan mobil kedua diisi 3 orang. Kita memilih 3 dari 6 orang untuk mobil pertama:

  $$\binom{6}{3} \times \binom{3}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 20\text{ cara}$$

  Hasil perhitungan ini adalah 20 cara, bukan 30. Karena itu, **Opsi D salah**. Angka 30 biasanya muncul akibat tebakan intuisi perkalian acak seperti $6 \times 5 = 30$, yang mengabaikan pembagian faktorial penyusun kelompok.

• Formasi berkebalikan $(4, 2)$: Mobil pertama diisi 4 orang dan mobil kedua diisi 2 orang. Kita memilih 4 dari 6 orang untuk mobil pertama:

  $$\binom{6}{4} \times \binom{2}{2} = \binom{6}{2} \times 1 = 15\text{ cara}$$

Ketiga skenario formasi ini adalah kejadian yang saling lepas (mutually exclusive)—sebuah rombongan tidak mungkin berangkat dengan formasi $(2, 4)$ sekaligus formasi $(3, 3)$ pada waktu yang sama. Menurut prinsip penjumlahan (rule of sum), total kemungkinan susunan adalah jumlahan dari semua skenario valid:

$$\text{Total} = 15 + 20 + 15 = 50\text{ cara}$$

Dengan demikian, Opsi E benar.