Daerah Hasil: Mengolah Input Jadi Output

Beda Input dan Output Fungsi

Daerah asal adalah angka-angka yang dimasukkan ke fungsi, sedangkan daerah hasil adalah angka-angka yang keluar setelah diproses.

Ilustrasi mesin konverter pabrik dengan ban berjalan bahan baku input dan ban berjalan produk akhir output.

Bayangkan sebuah fungsi matematika seperti mesin konverter di pabrik. Bahan mentah yang diizinkan masuk ke corong mesin adalah daerah asal (domain), yaitu nilai $x$. Begitu bahan mentah masuk, mesin bekerja mengolahnya berdasarkan aturan rumus fungsi. Produk jadi yang keluar dari ujung mesin adalah daerah hasil (range), yaitu nilai $y$.

Pada fungsi $f(x) = \frac{2x - 3}{x + 2}$ dengan daerah asal $\{x \mid 0 \le x \le 3\}$, angka $0$ sampai $3$ hanyalah bahan baku yang siap diolah. Kita tidak boleh langsung menyontek batas bahan baku tersebut menjadi batas produk jadi, misalnya langsung menganggap batas bawahnya adalah $y = 0$ seperti pada Opsi D. Setiap nilai $x$ harus benar-benar masuk dan diproses di dalam mesin untuk mengetahui nilai $y$ yang sebenarnya.

Diketahui daerah asal suatu fungsi dibatasi pada interval $1 \le x \le 4$. Jika fungsi tersebut memetakan $x$ ke $y$, tindakan manakah yang keliru saat mencari daerah hasil?

  • Langsung menetapkan batas daerah hasil dari $y = 1$ sampai $y = 4$ tanpa menghitung rumus fungsi.
  • Mensubstitusikan nilai batas $x = 1$ ke dalam rumus fungsi untuk mengamati nilai awal output.
  • Memeriksa nilai $y$ terkecil dan nilai $y$ terbesar yang dihasilkan sepanjang interval tersebut.
  • Memeriksa apakah ada nilai $x$ antara $1$ dan $4$ yang membuat penyebut bernilai nol.

Jawaban: Langsung menetapkan batas daerah hasil dari $y = 1$ sampai $y = 4$ tanpa menghitung rumus fungsi.

Daerah hasil adalah kumpulan nilai output ($y$) setelah nilai input ($x$) diolah oleh rumus fungsi. Menyalin langsung angka batas domain $x = 1$ sampai $x = 4$ menjadi rentang daerah hasil tanpa memprosesnya melalui fungsi adalah langkah yang keliru secara konsep. Opsi lain merupakan langkah analisis fungsi yang valid.

Membedakan antara nilai input (daerah asal) dan nilai output (daerah hasil) fungsi.

Memproses Ujung Interval

Mensubstitusikan ujung interval secara cermat menghasilkan batas nilai yang mungkin, asalkan hitungan pecahannya tidak salah.

Mari kita masukkan ujung-ujung daerah asal ke dalam mesin fungsi $f(x) = \frac{2x - 3}{x + 2}$:

  1. Memasukkan batas bawah ($x = 0$):

    $$f(0) = \frac{2(0) - 3}{0 + 2} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$$

    Hasil ini memberi kita titik awal output di $-\frac{3}{2}$.

  2. Memasukkan batas atas ($x = 3$): Hitung bagian atas dan bagian bawah secara terpisah dan teliti:

    • Pembilang: $2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$

    • Penyebut: $3 + 2 = 5$

    • Hasil pembagian: $\frac{3}{5}$

Kesalahan umum saat menghitung pecahan adalah mengabaikan penyebut setelah fokus menyelesaikan pembilang. Jika hanya menghitung pembilang ($3$) dan lupa membaginya dengan penyebut ($5$), kita akan salah menduga nilai maksimumnya adalah $3$. Slip aljabar inilah yang membuat seseorang tergoda memilih Opsi C ($-\frac{3}{2} \le y \le 3$) atau bahkan Opsi E ($1 \le y \le 3$).

Begitu pula dengan membulatkan pecahan $\frac{3}{5}$ menjadi bilangan bulat $1$ tanpa perhitungan yang tepat, yang memicu pilihan keliru pada Opsi B ($-\frac{3}{2} \le y \le 1$).

Diberikan fungsi $g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1}$. Berapakah nilai output fungsi tersebut saat batas atas daerah asal $x = 2$ dimasukkan?

  • $5$
  • $\frac{5}{3}$
  • $\frac{5}{2}$
  • $1$

Jawaban: $\frac{5}{3}$

Substitusikan $x = 2$ ke dalam fungsi $g(x)$: pembilang menjadi $3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$, sedangkan penyebut menjadi $2 + 1 = 3$. Hasil akhirnya adalah $\frac{5}{3}$. Menjawab $5$ terjadi jika penyebut diabaikan, sedangkan $\frac{5}{2}$ terjadi jika penyebut tidak ditambah $1$.

Substitusi nilai ke dalam fungsi rasional dengan menghitung pembilang dan penyebut secara tepat.

Kapan Boleh Cek Ujungnya Saja?

Mencari daerah hasil cukup dengan mengecek ujung interval asalkan grafik fungsi mulus (tidak terputus) dan arahnya monoton (terus naik atau terus turun).

Grafik fungsi rasional monoton naik f x = 2x - 3 / x + 2 pada interval x dari 0 sampai 3 dengan proyeksi ke sumbu y dari -1.5 ke 0.6.

Setelah menghitung bahwa $f(0) = -\frac{3}{2}$ dan $f(3) = \frac{3}{5}$, kita dapat langsung menyimpulkan bahwa daerah hasilnya adalah $-\frac{3}{2} \le y \le \frac{3}{5}$ (Opsi A). Namun, mengapa kita yakin nilai minimum dan maksimum berada persis di ujung-ujung interval tersebut?

Teknik mengecek ujung interval ini sah karena fungsi $f(x) = \frac{2x - 3}{x + 2}$ memiliki dua sifat penting pada interval $[0, 3]$:

  1. Tidak terputus (kontinu): Pembuat nol penyebut adalah $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Karena $x = -2$ berada jauh di luar daerah asal $[0, 3]$, mesin fungsi tidak pernah mengalami pembagian dengan nol di sepanjang interval yang ditinjau.

  2. Fungsi monoton naik: Grafiknya terus bergerak naik dari kiri ke kanan tanpa berbalik arah. Karena selalu naik, titik paling kiri ($x = 0$) menghasilkan output terendah, dan titik paling kanan ($x = 3$) menghasilkan output tertinggi.

Tentukan apakah setiap pernyataan berikut mengenai metode penentuan daerah hasil lewat ujung interval bernilai Benar atau Salah:

  • Metode mensubstitusikan ujung-ujung interval pasti memberikan batas daerah hasil yang tepat untuk semua jenis fungsi, meskipun grafik fungsinya berbelok arah di tengah interval. — Salah
  • Metode evaluasi ujung interval valid digunakan untuk menentukan daerah hasil jika fungsi terbukti tidak terputus (kontinu) dan arah grafiknya monoton di sepanjang interval daerah asal. — Benar

Pernyataan pertama SALAH karena jika grafik fungsi berbelok arah (tidak monoton), nilai ekstrem (maksimum atau minimum) dapat berada di puncak atau lembah di tengah interval, bukan di ujungnya. Pernyataan kedua BENAR karena kedua syarat tersebut (kontinu dan monoton) menjamin bahwa nilai terendah dan tertinggi fungsi pasti berada di batas-batas ujung interval.

Memahami syarat kontinuitas dan kemonotonan agar evaluasi ujung interval valid menentukan daerah hasil.