Program Linear: Meraih Untung Maksimal

Batasan Adalah Aturan Main

Semua bahan yang tersedia membatasi seberapa banyak produk yang bisa kita buat, dan ini diterjemahkan jadi pertidaksamaan linear.

Bayangkan kamu sedang memainkan game strategi manajemen sumber daya. Kamu punya stok bahan mentah yang terbatas dan ingin memaksimalkan poin. Di dapur Pak Anton, sumber dayanya adalah tepung ($20\text{ kg} = 20.000\text{ g}$) dan gula ($15\text{ kg} = 15.000\text{ g}$). Untuk membuat satu kue Dongkal ($x$), diperlukan $200\text{ g}$ tepung dan $50\text{ g}$ gula. Sementara itu, satu kue Bolu ($y$) menghabiskan $100\text{ g}$ tepung dan $150\text{ g}$ gula.

Kunci utama menyusun model matematika adalah mengelompokkan bahan yang sama, bukan mencampur jenis kue:

1. Kendala Tepung: Total tepung dari semua kue Dongkal ditambah kue Bolu tidak boleh melebihi stok:

   $$200x + 100y \le 20.000$$

   Bagi kedua ruas dengan $100$ agar sederhana:

   $$2x + y \le 200$$

2. Kendala Gula: Total gula untuk kedua jenis kue tidak boleh melebihi persediaan:

   $$50x + 150y \le 15.000$$

   Bagi kedua ruas dengan $50$:

   $$x + 3y \le 300$$

3. Syarat Non-Negatif: Jumlah kue yang diproduksi tidak mungkin bernilai negatif, sehingga secara alami berlaku $x \ge 0$ dan $y \ge 0$.

Dengan menggabungkan ketiga batasan ini, kita memperoleh sistem kendala lengkap: $2x + y \le 200$, $x + 3y \le 300$, $x \ge 0$, dan $y \ge 0$. Hasil inilah yang membuktikan bahwa Opsi A Benar.

Menggambar Daerah Penyelesaian

Setiap garis batasan akan memotong grafik dan membentuk sebuah area yang memenuhi semua syarat, yang disebut Daerah Penyelesaian (DHP).

Untuk mengubah sistem pertidaksamaan menjadi gambar pada bidang koordinat Cartesius, kita tentukan terlebih dahulu titik potong setiap garis batas dengan sumbu koordinat:

• Garis Batas Tepung ($2x + y = 200$):

  • Jika $x = 0$, maka $y = 200 \implies (0, 200)$.

  • Jika $y = 0$, maka $2x = 200 \implies x = 100 \implies (100, 0)$.

• Garis Batas Gula ($x + 3y = 300$):

  • Jika $x = 0$, maka $3y = 300 \implies y = 100 \implies (0, 100)$.

  • Jika $y = 0$, maka $x = 300 \implies (300, 0)$.

Karena tanda pertidaksamaannya adalah $\le$, daerah yang memenuhi masing-masing kendala berada di sisi yang mengarah ke titik asal $(0,0)$.

Daerah yang diwarnai oleh irisan dari kedua arsiran kendala di kuadran pertama ($x \ge 0, y \ge 0$) inilah yang menjadi Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP). DHP ini adalah "zona aman produksi", yaitu himpunan semua kombinasi jumlah kue Dongkal dan Bolu yang bahan bakunya cukup dan tidak melanggar kapasitas stok yang tersedia.

Titik Potong Dua Garis Kendala

Titik potong antara dua garis batasan mewakili kombinasi produksi di mana kedua bahan (tepung dan gula) habis terpakai bersamaan.

Banyak yang sering ragu menentukan garis mana yang harus dipotongkan. Perhatikan bentuk poligon Daerah Penyelesaian (DHP): batas-batas kelilingnya dibentuk oleh sumbu $x$ ($y=0$), sumbu $y$ ($x=0$), dan dua garis miring pembatas bahan baku. Titik sudut yang berada di bagian dalam grafik terbentuk tepat pada pertemuan dua garis kendala utama tersebut:

$$\begin{cases} 2x + y = 200 & \text{(Batas Tepung)} \\ x + 3y = 300 & \text{(Batas Gula)} \end{cases}$$

Kita dapat menemukan koordinat pertemuan ini menggunakan metode substitusi atau eliminasi:

1. Dari persamaan pertama, nyatakan $y$ dalam $x$:

   $$y = 200 - 2x$$

2. Substitusikan nilai $y$ ini ke dalam persamaan kedua:

   $$x + 3(200 - 2x) = 300$$

   $$x + 600 - 6x = 300$$

   $$-5x = 300 - 600$$

   $$-5x = -300 \implies x = 60$$

3. Masukkan $x = 60$ kembali untuk mencari $y$:

   $$y = 200 - 2(60) = 200 - 120 = 80$$

Kedua garis kendala berpotongan di titik $(60, 80)$. Artinya, jika Pak Anton membuat $60$ kue Dongkal dan $80$ kue Bolu, seluruh persediaan tepung sebanyak $20.000\text{ g}$ dan gula sebanyak $15.000\text{ g}$ akan habis terpakai tanpa sisa. Perhitungan ini memvalidasi bahwa Opsi B Benar.