Membedah Anatomi Rumus Barisan Geometri
Awas Ranjau Aljabar Dasar!
Coba bayangkan kamu diminta menghitung operasi berikut:
Berapa hasilnya? Banyak yang langsung mengalikan $5 \times 3 = 15$, lalu menguadratkannya menjadi $15^2 = 225$.
Padahal menurut aturan hierarki matematika (urutan operasi / PEMDAS), operasi pangkat (eksponen) memiliki kasta lebih tinggi dibanding perkalian. Eksponen harus diselesaikan terlebih dahulu:
Hasil $45$ sangat jauh berbeda dengan $225$!
Ranjau ini sering sekali mengecoh saat kita membaca rumus suku ke-$n$ barisan geometri. Ketika melihat bentuk seperti $U_n = 5 \cdot 3^n$, banyak orang mengira rasionya adalah $15$. Padahal rasionya tetaplah $3$, sedangkan $5$ hanyalah koefisien pengali di depan!
Sebuah barisan memiliki rumus suku ke-n yaitu $U_n = 2 \cdot 5^n$. Manakah pernyataan yang benar mengenai perhitungan nilai suku ke-3 ($U_3$)?
- Nilai suku ke-3 adalah 1.000, karena (2 · 5)³ = 10³ = 1.000.
- Nilai suku ke-3 adalah 250, karena 5³ dihitung lebih dulu menjadi 125, lalu dikali 2.
- Nilai suku ke-3 adalah 30, karena koefisien 2 dikalikan basis 5 dikalikan pangkat 3.
- Nilai suku ke-3 adalah 150, karena suku pertama 2 ditambahkan dengan 5³.
Jawaban: Nilai suku ke-3 adalah 250, karena 5³ dihitung lebih dulu menjadi 125, lalu dikali 2.
Hierarki operasi mendahulukan pangkat sebelum perkalian: U₃ = 2 · 5³ = 2 · 125 = 250, bukan (2 · 5)³ = 1.000.
Pangkat bekerja sebelum perkalian, sehingga basis eksponen tidak boleh dikalikan koefisien terlebih dahulu.
Denyut Nadi Barisan Geometri
Apa sebenarnya yang membuat sebuah barisan disebut barisan geometri? Bukan rumusnya yang terlihat keren, melainkan denyut nadinya: setiap suku selalu lahir dari suku sebelumnya yang dikalikan dengan angka pengali yang sama.
Pengali tetap inilah yang dinamakan rasio ($r$).
Karena setiap suku berikutnya didapat dengan mengalikan $r$:
Maka secara definisi fundamental, untuk menemukan nilai rasio dari barisan apa pun, kita tinggal membalik operasinya menjadi pembagian:
Prinsip pembagian ini adalah jangkar terkuatmu. Kapan pun kamu menemukan rumus barisan yang bentuknya asing, tidak biasa, atau rumit, kamu tidak perlu menebak-nebak basisnya. Cukup ambil suku ke-$n$, bagi dengan suku ke-$(n-1)$, dan rasionya akan langsung terkuak!
Rumus Standar vs Bentuk Samaran
Pada soal awal, barisan geometri memiliki suku pertama $a = 4$ dan rasio $r = \frac{1}{2}$. Jika kita masukkan ke rumus baku yang biasa dihafal di sekolah:
Namun, di Pernyataan II rumus tersebut tertulis sebagai:
Apakah pembuat soal salah tulis? Kenapa angka $4$ bisa berubah menjadi $8$, dan pangkatnya berubah dari $n-1$ menjadi $n$?
Kuncinya terletak pada sifat aljabar eksponen: $x^{a-b} = \frac{x^a}{x^b}$.
Mari kita bedah langkah aljabarnya secara runtut:
Pecah pangkat pengurang: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^1}$$
Keluarkan pecahan penyebut ke depan: $$U_n = 4 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}} = \left(\frac{4}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$$
Sederhanakan pembagian pecahan: Membagi dengan $\frac{1}{2}$ sama artinya dengan mengalikan $2$: $$4 \div \frac{1}{2} = 4 \times 2 = 8$$
Hasil akhir: $$U_n = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$$
Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $a = 6$ dan rasio $r = 3$, dengan rumus umum $U_n = 6 \cdot 3^{n-1}$. Bentuk ekuivalen manakah yang tepat jika dituliskan dalam pangkat $3^n$?
- U_n = 2 · 3^n, karena koefisien 6 dikurangi oleh basis 3.
- U_n = 18 · 3^n, karena koefisien 6 dikalikan langsung dengan basis 3.
- U_n = 2 · 3^n, karena 6 · (3^n / 3^1) = (6/3) · 3^n = 2 · 3^n.
- U_n = 6 · 3^n, karena pangkat -1 dapat diabaikan untuk n yang besar.
Jawaban: U_n = 2 · 3^n, karena 6 · (3^n / 3^1) = (6/3) · 3^n = 2 · 3^n.
Dengan sifat eksponen 3^(n-1) = 3^n / 3^1, rumus menjadi U_n = 6 · (3^n / 3) = (6/3) · 3^n = 2 · 3^n.
Bentuk a · r^(n-1) dapat diubah menjadi (a/r) · r^n menggunakan sifat eksponen pecahan.