Dinamika Katrol: Massa, Rotasi, dan Kendala Tali

Benda Tak Bermassa = Nol Gaya

Pada benda yang tidak bermassa ($m = 0$), resultan gaya eksternal selalu bernilai nol, terlepas dari seberapa besar percepatannya.

Berdasarkan Hukum II Newton, hubungan dinamika gerak translasi dituliskan sebagai:

$$\sum F = m \cdot a$$

Jika sebuah katrol bergerak diasumsikan ideal tanpa massa ($m = 0$), maka perkalian di ruas kanan mutlak bernilai nol, berapapun percepatan linear $a$ yang dialami katrol tersebut:

$$\sum F = 0 \cdot a = 0$$

Akibatnya, resultan gaya eksternal ($\sum F$) yang bekerja pada katrol ideal harus sama dengan nol. Ini membenarkan Opsi A pada soal.

Kata "bergerak" atau "dipercepat" sering mengecoh kita untuk mengira bahwa harus ada sisa gaya neto bernilai positif. Padahal, bayangkan sebuah buku kas akuntansi: jika suatu akun perantara tidak memotong biaya simpan atau administrasi sama sekali (inersianya nol), saldo masuk harus tepat sama dengan saldo keluar. Katrol ideal tak bermassa bertindak murni sebagai perantara pembagi arah gaya tanpa menyerap resultan gaya eksternal sedikit pun.

Pajak Torsi Katrol Bermassa

Katrol bermassa yang ikut berputar mensyaratkan selisih tegangan di antara dua sisi tali untuk menghasilkan torsi neto.

Banyak yang mengira bahwa selama seutas tali terhubung utuh melewati katrol, tegangannya akan selalu seragam di kedua sisi. Anggapan ini menggoda karena berlaku pada katrol licin tak bermassa. Namun, pada katrol pejal yang memiliki massa signifikan, katrol memiliki kelembaman rotasi berupa momen inersia ($I > 0$).

Berdasarkan dinamika rotasi (Hukum II Newton untuk gerak melingkar):

$$\tau_{net} = I \cdot \alpha$$

Di mana $\alpha$ adalah percepatan sudut rotasi katrol. Torsi neto ini disumbangkan oleh resultan gaya tarik tali pada kedua sisi katrol berjari-jari $R$:

$$\tau_{net} = (T_2 - T_1) \cdot R$$

Kembali ke analogi buku kas akuntansi: momen inersia katrol bertindak seperti biaya administrasi atau "pajak torsi". Agar katrol yang berat mau berputar dipercepat ($\alpha > 0$), harus ada selisih gaya riil di antara kedua sisi tali ($T_2 - T_1 \neq 0$). Dengan kata lain, $T_2$ tidak mungkin sama dengan $T_1$. Oleh karena itu, pernyataan pada Opsi B bernilai salah.

Kinematika Persamaan Tali Konstan

Percepatan linear antar-massa pada katrol bergerak dibatasi oleh diferensial persamaan kendala panjang tali, yang jarang menghasilkan rasio $1:1$.

Godaan terbesar saat melihat beberapa benda bergerak bersama dalam satu sistem katrol adalah mengira percepatan linearnya pasti sama (identik). Nyatanya, geometri tali mengunci hubungan gerak mereka melalui batas saldo panjang tali yang konstan ($L = \text{konstan}$).

Misalkan pada susunan katrol bergerak sederhana, panjang total tali dari atap melalui katrol tetap dan katrol bergerak dinyatakan dengan koordinat posisi vertikal:

$$L = y_1 + 2y_2 + C$$

Di mana $y_1$ adalah posisi beban penarik, $y_2$ posisi katrol bergerak yang menopang beban lain, dan $C$ mewakili segmen tali tetap yang melingkari busur katrol.

Karena tali bersifat tak elastis (inextensible), panjang tali $L$ tidak berubah terhadap waktu. Jika kita turunkan persamaan ini dua kali terhadap waktu ($t$):

$$\frac{d^2L}{dt^2} = 0 \implies a_1 + 2a_2 = 0 \iff |a_1| = 2|a_2|$$

Hasil matematis ini membuktikan bahwa percepatan massa $1$ bernilai dua kali lipat percepatan massa $2$. Karena rasio percepatan bergantung pada geometri tali dan tidak selalu bernilai identik ($1:1$), maka pernyataan pada Opsi C terbukti salah.