Perambatan Error: Dari Sisi ke Luas

Saat Ukuran Sisi Meleset Sedikit

Kamu sudah sangat tepat saat menyadari bahwa mengukur pakai penggaris biasa itu bisa meleset. Karena garis terkecil penggaris adalah $1 \text{ mm}$ ($0.1 \text{ cm}$), kita biasanya mengambil ketidakpastian sebesar setengah dari batas itu, yaitu $\pm 0.05 \text{ cm}$.

Nah, sekarang bayangkan kamu menghitung luas persegi dari sisi yang kamu ukur tadi ($4 \text{ cm}$). Apakah luasnya mutlak $16 \text{ cm}^2$? Tentu tidak. Karena nilai sisi sebenarnya berupa rentang (antara $3.95 \text{ cm}$ sampai $4.05 \text{ cm}$), maka nilai luasnya pun punya ruang gerak atau error yang ikut merambat dari sisi ke luas.

Coba geser slider pada persegi di bawah ini untuk melihat bagaimana perubahan kecil pada ukuran sisi bisa membuat nilai luas membesar atau mengecil dari $16 \text{ cm}^2$.

Makin besar nilai melesetnya, makin melar pula kemungkinan luas akhirnya!

Berdasarkan prinsip perambatan error di atas, apa yang terjadi pada luas persegi jika hasil ukur panjang sisinya memiliki ketidakpastian?

  • A. Luas persegi akan tetap sama selama alat ukurnya sama.
  • B. Luas persegi tidak memiliki ketidakpastian karena dihitung pakai rumus pasti.
  • C. Luas persegi akan memiliki rentang nilai karena panjang sisinya juga berupa rentang.
  • D. Ketidakpastian luas akan selalu lebih kecil dari ketidakpastian panjang sisi.

Jawaban: C. Luas persegi akan memiliki rentang nilai karena panjang sisinya juga berupa rentang.

Karena luas dihitung dari panjang sisi, rentang error (ketidakpastian) pada ukuran sisi akan ikut merambat dan membuat hasil perhitungan luas menjadi sebuah rentang juga.

Ketidakpastian pada besaran turunan (luas) terjadi karena adanya ketidakpastian yang terbawa dari besaran pokoknya (panjang sisi).

Menghitung Error Pakai Angka

Karena kamu lebih suka melihat angka konkretnya dulu, mari kita bedah pelan-pelan tanpa rumus rumit.

Kita tahu panjang sisi nominal (nilai tengah yang kita anggap benar) adalah $4 \text{ cm}$. Luas nominalnya tentu saja $L = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2$.

Sekarang, mari kita hitung apa yang terjadi jika hasil pengukuran penggarismu ternyata meleset ke batas maksimum, yaitu $4.05 \text{ cm}$:

Berapa selisih luas maksimum ini dengan luas nominal?

Angka $0.4025$ ini (yang bisa kita bulatkan menjadi sekitar $0.4$) adalah ketidakpastian mutlak luas ($\Delta L$). Jadi, kalau ukuran sisimu meleset $0.05 \text{ cm}$, ukuran luasmu bisa meleset sejauh $0.4 \text{ cm}^2$!

Jika kamu mengukur panjang sisi meja 10 cm dengan ketidakpastian ±0.1 cm, berapakah estimasi error pada luas meja tersebut (hitung selisih luas maksimum dengan luas nominal)?

  • A. 1.01 cm²
  • B. 2.01 cm²
  • C. 10.01 cm²
  • D. 20.01 cm²

Jawaban: B. 2.01 cm²

Luas nominal = 10 × 10 = 100. Luas maksimum = 10.1 × 10.1 = 102.01. Selisih (error luas) = 102.01 - 100 = 2.01 cm².

Ketidakpastian mutlak besaran turunan bisa diestimasi dari selisih antara nilai perhitungan maksimum dengan nilai nominalnya.

Jalan Pintas: Rumus Perambatan

Di halaman sebelumnya, kita menghitung nilai error secara manual dengan mengkuadratkan angka desimal ($4.05^2$). Cara ini tentu bisa memakan waktu, apalagi kalau angkanya jelek.

Di Fisika, kita punya jalan pintas menggunakan matematika turunan. Untuk besaran yang dirumuskan dengan fungsi kuadrat seperti luas persegi ($L = s^2$), ketidakpastian mutlak luasnya ($\Delta L$) bisa langsung dicari dengan rumus:

Mari kita buktikan apakah rumus ini cocok dengan perhitungan manual kita tadi:

Masukkan ke rumus: $\Delta L = 2 \times 4 \times 0.05$ $\Delta L = 8 \times 0.05$ $\Delta L = 0.4$

Hasilnya sama persis! Alih-alih menghitung $16.4025 - 16$ yang ribet, rumus turunan ini bertindak sebagai alat ringkas untuk mencari nilai error (ketidakpastian) tanpa perlu berurusan dengan kuadrat desimal panjang.

Sebuah lempeng persegi memiliki sisi s = 3 cm dan Δs = 0.1 cm. Menggunakan rumus perambatan ralat, berapakah nilai ketidakpastian luasnya (ΔL)?

  • A. 0.03 cm²
  • B. 0.3 cm²
  • C. 0.9 cm²
  • D. 0.6 cm²

Jawaban: D. 0.6 cm²

Masukkan ke rumus jalan pintas: ΔL = 2 × s × Δs = 2 × 3 × 0.1 = 0.6 cm².

Rumus perambatan ralat untuk fungsi kuadrat (L=s²) adalah ΔL = 2 × s × Δs.