Probabilitas Bersyarat & Dekomposisi Kasus

Mengartikan "Dipastikan Terjadi"

Pernahkah kamu menonton film yang awalnya langsung menampilkan adegan klimaks, lalu mundur menceritakan kelanjutannya? Kejadian pertama itu sudah pasti, kita tinggal melihat efek ke depannya.

Sama halnya dalam soal peluang ini. Ada kalimat kunci: "pengambilan pertama dipastikan bola merah".

Dalam probabilitas bersyarat murni seperti $P(B|A)$, kejadian $A$ (bola merah pertama) diasumsikan sudah pasti terjadi. Ia bukan lagi bagian dari ketidakpastian; ia adalah 'Kondisi 0' dari eksperimen yang baru kita mulai.

Berdasarkan konsep probabilitas bersyarat, manakah pernyataan yang paling tepat tentang kejadian yang 'dipastikan terjadi' sebagai syarat?

  • A. Peluang kejadian bersyarat selalu dikalikan dengan probabilitas awal kejadian tersebut (misal 2/8).
  • B. Probabilitas kejadian yang menjadi syarat adalah 1, dan ia mereset titik awal (ruang sampel) perhitungan kita.
  • C. Kejadian syarat tidak mengubah jumlah anggota ruang sampel, hanya mengubah peluang akhirnya.
  • D. Kita harus menghitung kemungkinan gagal terambilnya bola merah pada pengambilan pertama.

Jawaban: B. Probabilitas kejadian yang menjadi syarat adalah 1, dan ia mereset titik awal (ruang sampel) perhitungan kita.

Jika suatu kejadian dipastikan terjadi (sebagai syarat), maka ia bukan lagi 'kemungkinan'. Peluangnya 1, dan realitas atau ruang sampel eksperimen kita bergeser mengikuti fakta tersebut.

Kejadian yang dipastikan sebagai syarat memiliki peluang 1 dan mereset ruang sampel awal eksperimen probabilitas.

Dinamika Ruang Sampel

Setelah kita sepakat bahwa pengambilan pertama dipastikan terjadi, apa efeknya secara matematis terhadap isi kotak?

Pengambilan berurutan tanpa pengembalian (dependent events) akan mengubah nilai jumlah kejadian $n(A)$ dan total ruang sampel $n(S)$ secara deterministik (pasti) untuk setiap langkah berikutnya.

Mari definisikan variabel keadaan awal kotak:

Begitu kita menerapkan syarat mutlak bahwa $1$ bola merah diambil secara pasti (transisi ke State 1), maka $n(M)$ berkurang menjadi $1$, dan total $n(S)$ menjadi $7$.

Dekomposisi Urutan Kasus

Tujuan kita (target kejadian) adalah mendapatkan ketiga bola yang berbeda warna. Artinya, kita butuh himpunan warna $M, Hj, Hk$.

Karena posisi urutan pertama sudah "terkunci" oleh bola Merah ($M_1$), sisa warna yang harus kita dapatkan pada pengambilan kedua dan ketiga adalah Hijau ($Hj$) dan Hitam ($Hk$).

Tapi, warna Hijau dan Hitam ini bisa muncul dalam urutan yang berbeda! Karena kita mengambil secara berurutan, posisi urutannya sangat memengaruhi nilai penyebut di tiap langkah.

Kita bisa menjabarkan kasusnya secara aljabar formal menjadi permutasi yang saling lepas (mutually exclusive):

Berdasarkan dekomposisi urutan kejadian untuk mendapatkan bola warna berbeda dengan syarat bola pertama Merah, pernyataan mana saja yang BENAR? (Centang semua yang tepat)

  • Urutan $M_1 - Hj_2 - Hk_3$ adalah salah satu kasus yang valid.
  • Urutan $M_1 - Hk_2 - Hj_3$ memberikan himpunan warna yang sama dengan kasus pertama.
  • Kita hanya perlu menghitung salah satu urutan saja asalkan himpunan warnanya berbeda.
  • Urutan $Hk_1 - M_2 - Hj_3$ juga harus dihitung sesuai target soal.

Jawaban: Urutan $M_1 - Hj_2 - Hk_3$ adalah salah satu kasus yang valid.; Urutan $M_1 - Hk_2 - Hj_3$ memberikan himpunan warna yang sama dengan kasus pertama.

Penjabaran urutan yang valid dari sebuah himpunan kejadian harus memperhitungkan semua permutasi kejadian yang belum terkunci posisinya.