Menyiasati Deret dengan Simetri

Berapa Jumlah Sisipannya?

Bayangkan kamu diminta untuk menancapkan 7 tiang kayu dalam satu barisan lurus untuk membuat pagar. Coba tebak, ada berapa banyak celah kosong di antara tiang-tiang tersebut tempat kamu bisa menyisipkan pagar tambahan?

Mungkin insting pertama kita menjawab 14, karena sering kali kita secara tidak sadar mengalikan dua jumlah bilangannya. Namun di dunia matematika (dan programming), fenomena ini disebut sebagai off-by-one error atau fencepost problem (masalah tiang pagar).

Pola aslinya begini: jumlah "celah" atau interval di antara benda yang berjajar lurus selalu satu lebih sedikit dari jumlah bendanya.

ilustrasi

Konsep ini sama persis dengan yang terjadi di soal kita. Kita punya 7 bilangan berurutan di dalam barisan aritmetika, yang berarti hanya ada $7 - 1 = 6$ celah kosong di antara bilangan-bilangan tersebut.

Jadi, ketika soal menyebutkan "Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku", itu artinya kita cuma akan menambahkan tepat 6 bilangan baru (sisipan) ke dalam barisan lama tersebut. Total barisan kita nantinya akan memiliki 13 bilangan.

Jika kamu punya barisan aritmetika yang terdiri dari 10 bilangan berurutan, lalu kamu menyisipkan satu angka di antara tiap dua suku yang berdekatan, ada berapa banyak bilangan baru (sisipan) yang ditambahkan?

  • 10 bilangan
  • 11 bilangan
  • 9 bilangan
  • 19 bilangan

Jawaban: 9 bilangan

Dalam deret 10 suku, jumlah celah di antara suku-suku yang berdekatan adalah 10 - 1 = 9. Jadi hanya ada 9 bilangan sisipan yang ditambahkan.

Jumlah celah di antara n benda yang dijajarkan adalah n - 1.

Rata-rata Sebagai "Titik Tengah"

Sekarang kita sudah tahu ada 6 bilangan baru yang akan dimasukkan ke celah-celah kosong tadi. Pertanyaannya, angka apa yang sebenarnya disisipkan?

Soal bilang yang disisipkan adalah "rata-rata kedua suku tersebut". Mari kita bangun intuisinya pakai analogi uang jajan sehari-hari.

Bayangkan si Adik diberi uang saku Rp2000 dan si Kakak diberi Rp4000. Kalau kita kumpulkan dan bagi dua sama rata, uang mereka masing-masing menjadi Rp3000. Posisi uang Rp3000 ini berada persis di tengah-tengah antara Rp2000 dan Rp4000.

Kalau kamu lihat jaraknya:

Dalam barisan aritmetika, selisih atau "jarak" antarsuku itu selalu sama dan teratur. Ketika kita mengisi setiap celah dengan angka rata-ratanya, kita sebenarnya cuma meletakkan batu pijakan persis di tengah-tengah antar suku lama.

Hal ini menjadi penting karena kita tidak perlu takut sifat-sifat khusus deret aritmetika yang awal akan hilang; pola keteraturannya tetap terjaga secara utuh.

Dari pemahaman tentang menyisipkan nilai rata-rata, manakah dari pernyataan berikut yang sesuai?

  • Barisan sisipan akan tetap menjadi barisan aritmetika yang beraturan. — Benar
  • 'Beda' (selisih antar bilangan) pada barisan baru tersebut akan menjadi lebih besar dari aslinya. — Salah

Pernyataan 1 benar: nilai rata-rata persis di tengah membagi jarak (beda) lama menjadi dua sama besar, menyisakan pola yang konstan. Pernyataan 2 salah: menyisipkan nilai memotong celah menjadi lebih rapat, sehingga nilai "beda"-nya justru mengecil menjadi setengahnya.

Menyisipkan rata-rata di antara suku-suku barisan aritmetika akan menghasilkan barisan aritmetika baru dengan beda yang menjadi setengahnya.

Trik Uang Jajan: Suku Tengah

Soal memberi tahu kita fakta penting yang belum kita manfaatkan: "Tujuh bilangan berjumlah $308$". Kita sama sekali tidak diberi tahu berapa nilai awal bilangannya, lalu bagaimana cara mengerjakannya?

Di sinilah indahnya sifat suku tengah (middle term) pada barisan aritmetika yang berjumlah ganjil (seperti 7 suku).

Total nilai dalam barisan aritmetika dengan jumlah suku ganjil bisa dibayangkan seperti sekumpulan anak dengan uang saku berbeda yang dikumpulkan jadi satu lalu dibagi rata.

Bayangkan total uang $308$ itu diratakan ke 7 anak agar semuanya memegang jumlah yang sama. Maka setiap anak ibaratnya akan memegang: $308 \div 7 = 44$

Jadi, tanpa menggunakan rumus matematika yang berbelit-belit, kamu bisa langsung menebak dan memastikan bahwa titik keseimbangan atau suku tengah dari barisan lama adalah 44. Fakta ini akan sangat krusial sebagai "kunci pas" untuk membuka teka-teki penjumlahan seluruh sukunya di halaman berikutnya.

Suatu barisan aritmetika terdiri dari 5 suku. Jika jumlah dari kelima suku tersebut adalah 250, berapakah nilai dari suku ketiganya (suku tengah)?

  • 30
  • 50
  • 100
  • 250

Jawaban: 50

Cukup bagi total keseluruhan (250) dengan jumlah suku (5). 250 / 5 = 50. Jadi suku ke-3 (suku tengahnya) adalah 50.

Suku tengah deret aritmetika ganjil = Total Jumlah / Banyak Suku