Eksponen dalam Pertumbuhan Bakteri
Bayangkan Bakteri Membelah
Pernahkah kamu membayangkan bagaimana cara bakteri berkembang biak? Mereka tidak melahirkan anak satu per satu, melainkan melakukan proses yang disebut pembelahan biner (binary fission).
Gambar: User:ZabMilenko, CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons
Sederhananya, satu sel bakteri akan menduplikasi dirinya lalu membelah tepat di tengah menjadi dua sel baru. Kejadian biologis ini membawa sebuah efek matematika yang sangat dahsyat: perkalian berulang.
Bayangkan ada 1 bakteri. Saat satu siklus pembelahan terjadi, jumlahnya dikali 2, menjadi 2 bakteri. Pada siklus berikutnya, masing-masing dari 2 bakteri itu membelah lagi. Jumlahnya menjadi 4, lalu 8, 16, dan seterusnya. Daripada repot menulis $2 \times 2 \times 2 \times 2$, kita menggunakan eksponen (pangkat) untuk menyingkatnya menjadi $2^4$.
Coba mainkan simulasi di bawah ini untuk melihat bagaimana perkalian berulang ini bekerja!
Jika kamu memulai eksperimen dengan 3 bakteri pembibit, dan membiarkannya melewati 4 siklus pembelahan (masing-masing membelah jadi 2), bagaimana bentuk matematika untuk menghitung total bakteri?
- A. 3 + 2^4
- B. 3 × 2^4
- C. 3^4 × 2
- D. 3 × 4^2
Jawaban: B. 3 × 2^4
Jumlah awalnya adalah 3, dan pengali dari 4 siklus pembelahan biner (pangkat 4) adalah 2^4. Jadi, total akhir dihitung dengan 3 dikalikan 2^4.
Total pertumbuhan sama dengan Jumlah Awal dikalikan (Pengganda) pangkat (Jumlah Siklus).
Menghitung 'Lompatan' Waktu
Dalam soal eksponensial tentang pertumbuhan, tantangan pertamanya sering kali adalah mencari tahu berapa kali kejadian (siklus) itu berulang, yang nantinya akan menjadi angka pangkat (eksponen) di perhitungan kita.
Satu jebakan umum adalah kita sering diberi total durasi waktu pengamatan, tapi satuannya berbeda dengan durasi yang dibutuhkan untuk satu kali pembelahan. Misalnya, durasi totalnya $1{,}5$ jam, padahal bakteri membelah setiap $15$ menit.
Hasil bagi dari $90 \text{ menit}$ dibagi $15 \text{ menit}$ adalah $6$. Angka $6$ inilah yang merupakan jumlah "lompatan" atau banyaknya siklus pembelahan yang terjadi (alias nilai pangkatnya).
Jika sejenis bakteri membelah diri setiap 20 menit, dan kamu mengamatinya selama 2 jam, berapa banyak siklus pembelahan (nilai pangkat n) yang terjadi?
- A. 2 siklus
- B. 3 siklus
- C. 6 siklus
- D. 10 siklus
Jawaban: C. 6 siklus
Total waktu adalah 2 jam = 120 menit. Satu siklus butuh waktu 20 menit. Maka, 120 menit dibagi 20 menit menghasilkan 6 siklus.
Jumlah siklus (pangkat) didapat dengan membagi total durasi (dalam satuan yang sama) dengan durasi satu pembelahan.
Menyusun Rumus Pertumbuhan
Sekarang kita sudah punya semua kepingan teka-tekinya. Kita ibaratkan merakit balok mainan untuk menyusun model matematika utuh dari pertumbuhan bakteri ini.
Ada tiga komponen penting yang telah kita kumpulkan:
Jumlah Awal ($N_0$): $10$ bakteri pembibit.
Angka Pengganda: Karena bakteri membelah diri menjadi dua, penggandanya adalah $2$.
Jumlah Siklus ($n$): Dari perhitungan waktu tadi, proses berulang sebanyak $6$ kali.
Total akhir selalu mengikuti pola fundamental ini: Jumlah Awal dikali (Angka Pengganda pangkat Jumlah Siklus).
Maka, persamaan utuhnya adalah jumlah bakteri mula-mula dikalikan dengan faktor pertumbuhannya. Secara matematika, kita gabungkan menjadi satu kesatuan: