Teorema Garis Bagi: Rahasia Rasio Tersembunyi

Kenalan dengan Garis Bagi

Garis bagi membelah sudut menjadi dua sama besar, tapi umumnya tidak membelah sisi di depannya sama panjang.

Banyak yang mengira bahwa ketika sebuah garis membelah sudut tepat di tengah, sisi di hadapannya otomatis terbelah sama rata. Ini adalah miskonsepsi umum: garis bagi bukanlah garis berat. Untuk memahaminya, kita bisa membayangkan tiang penyangga tenda.

Bayangkan segitiga sebagai sebuah atap tenda. Sudut puncak tenda dibelah oleh tiang penyangga (garis bagi) menjadi dua sudut yang persis sama. Atap kiri dan atap kanan adalah sisi-sisi yang mengapit tiang tersebut, sedangkan lantai tenda adalah sisi di hadapan sudut puncak.

Jika panjang atap kiri dan kanan sama, tiang penyangga akan jatuh tepat di tengah lantai. Namun, perhatikan apa yang terjadi saat atap kanan dibuat lebih panjang: posisi jatuhnya tiang di lantai akan bergeser menjauh dari sisi yang lebih panjang. Pembagian lantai selalu mengikuti perbandingan panjang atapnya.

Teorema Garis Bagi Segitiga

Perbandingan panjang potongan sisi di depan sudut sama dengan perbandingan panjang sisi-sisi yang mengapit sudut tersebut.

Melanjutkan analogi tenda sebelumnya, kita mendapatkan hubungan yang sangat rapi: Rasio Atap Kiri : Atap Kanan = Rasio Lantai Kiri : Lantai Kanan. Aturan ini dikenal sebagai Teorema Garis Bagi.

Diagram segitiga ABD dengan garis bagi AX memperlihatkan rasio sisi pengapit dan potongan alas

Pada segitiga $ABD$, garis $AX$ membelah sudut $A$ menjadi dua bagian yang sama besar. Sisi yang mengapit sudut tersebut adalah sisi $AD$ dan sisi $AB$. Berdasarkan teorema ini, perbandingan sisi pengapit langsung menentukan pembagian sisi di depannya:

$$\frac{AD}{AB} = \frac{DX}{BX}$$

Dari data bangun, panjang $AD = 4\text{ cm}$ dan $AB = 12\text{ cm}$. Jika kita masukkan nilai tersebut ke dalam rumus:

$$\frac{DX}{BX} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Artinya, potongan $DX$ mewakili $1\text{ bagian}$, sedangkan potongan $BX$ mewakili $3\text{ bagian}$.

Segitiga $PQR$ memiliki garis bagi $PM$. Panjang sisi $PQ = 10$ dan $PR = 15$. Berapa perbandingan panjang segmen $QM$ terhadap $MR$?

  • 1 : 1
  • 2 : 3
  • 3 : 2
  • 2 : 5

Jawaban: 2 : 3

Sesuai Teorema Garis Bagi, perbandingan potongan alas QM : MR berbanding lurus dengan perbandingan sisi pengapitnya yaitu PQ : PR = 10 : 15 = 2 : 3. Opsi A keliru karena garis bagi tidak selalu membagi alas sama panjang; Opsi C keliru karena rasio terbalik; Opsi D keliru karena membandingkan sisi alas terhadap total keliling sisi pengapit.

Menentukan rasio potongan sisi menggunakan Teorema Garis Bagi

Mencari Garis Bagi Tersembunyi

Sudut 45 derajat yang berdampingan pada pojok siku-siku merupakan bukti keberadaan garis bagi.

Pada banyak soal geometri, pembuat soal tidak selalu secara terang-terangan menyebutkan bahwa sebuah garis adalah garis bagi. Kita sering kali harus bertindak seperti detektif dan membuktikannya lewat hubungan sudut.

Diagram sudut siku-siku A yang terbagi menjadi dua sudut 45 derajat sama besar

Mari kita perhatikan pojok sudut $A$ pada persegi panjang $ABCD$. Kita tahu bahwa sudut pojok persegi panjang selalu berupa sudut siku-siku, yaitu sebesar $90^\circ$.

Informasi soal menyebutkan bahwa $DE = AD$. Karena segitiga $ADE$ memiliki sudut siku-siku di $D$ dengan dua sisi tegak yang sama panjang, maka bangun ini adalah segitiga siku-siku sama kaki. Karakteristik utama segitiga siku-siku sama kaki adalah kedua sudut lancipnya sama besar:

$$\angle DAE = 45^\circ$$

Sekarang, kita bisa menghitung sisa sudut di sebelahnya:

$$\angle EAB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$

Karena $\angle DAE$ dan $\angle EAB$ sama-sama bernilai $45^\circ$, garis $AE$ (yang melewati titik $X$) terbukti membagi sudut $A$ tepat di tengah. Dengan demikian, $AX$ sah merupakan garis bagi pada segitiga $ABD$.