Bongkar Aturan Eksponen Lewat Logika
Pangkat yang Dipangkatkan
Jika sebuah bilangan berpangkat dipangkatkan lagi, pangkatnya harus dikalikan. Bayangkan sebuah Mesin Pengganda: basis adalah barang yang kita masukkan (misalnya kotak), sedangkan eksponen adalah instruksi kelipatan pada mesin. Jika kita memasukkan kotak berpangkat ke mesin pertama lalu hasilnya langsung diproses oleh mesin kedua, instruksi penggandaannya berlipat ganda lewat perkalian.
Untuk membuktikannya tanpa menghafal rumus, mari kita uji dengan contoh angka sederhana: $(2^3)^2$. Pangkat $2$ di luar tanda kurung memerintahkan isi kurung dikalikan dengan dirinya sendiri:
$$(2^3)^2 = (2^3) \cdot (2^3) = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^6$$
Ada $2$ kelompok yang masing-masing berisi $3$ perkalian angka $2$. Total angka $2$ yang dikalikan berjejer adalah $3 \times 2 = 6$. Secara umum, berlaku sifat:
$$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$$
Penjabaran di atas memperlihatkan kenapa kedua eksponen dikalikan saat dibatasi tanda kurung: tingkat pemangkatan kedua melipatgandakan jumlah pengali yang sudah ada di dalam kurung.
Sekarang, kita terapkan sifat ini pada bagian kurung di soal: $(a^{\frac{2}{3}})^2$.
$$(a^{\frac{2}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3} \cdot 2} = a^{\frac{4}{3}}$$
Bentuk sederhana dari $(y^{\frac{3}{5}})^2$ adalah...
- y^{\frac{3}{5}}
- y^{\frac{5}{5}}
- y^{\frac{6}{5}}
- y^{\frac{9}{25}}
Jawaban: y^{\frac{6}{5}}
Berdasarkan sifat (x^m)^n = x^{m \cdot n}, eksponen di dalam kurung dikalikan dengan eksponen di luar kurung: \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}, sehingga bentuk sederhananya adalah y^{\frac{6}{5}}. Opsi A salah karena mengabaikan pangkat 2 di luar kurung. Opsi B salah karena keliru menjumlahkan \frac{3}{5} dengan 2 seolah-olah bernilai \frac{2}{5}. Opsi D salah karena mengkuadratkan pembilang dan penyebut pecahan secara terpisah.
Aturan pangkat yang dipangkatkan berlaku dengan cara mengalikan eksponennya.
Perkalian Basis yang Sama
Mengalikan bilangan dengan basis yang sama berarti menjumlahkan pangkat-pangkatnya. Melanjutkan analogi Mesin Pengganda, jika kita mengalikan dua kotak yang sama, kita sedang menggabungkan deretan instruksi perkalian dari masing-masing kotak menjadi satu antrean panjang, sehingga total instruksinya bertambah banyak lewat penjumlahan.
Mari buktikan aturan $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ memakai contoh angka riil $2^2 \cdot 2^3$:
$$2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^{2+3} = 2^5$$
Dua faktor angka $2$ digabungkan dengan tiga faktor angka $2$, menghasilkan total lima faktor angka $2$ yang dikalikan berjejer.
Simulasi di atas membuktikan bahwa setiap kali dua bentuk berpangkat dengan basis yang sama dikalikan, panjang deretan faktornya bertambah sebesar jumlah kedua eksponen tersebut.
Sekarang, perhatikan ruas kiri persamaan kita: $a \cdot a^{\frac{4}{3}}$. Variabel $a$ yang berdiri sendiri sebenarnya memiliki eksponen tersembunyi bernilai $1$, yaitu $a = a^1$. Karena kedua suku memiliki basis yang sama ($a$), kita jumlahkan eksponennya:
$$a^1 \cdot a^{\frac{4}{3}} = a^{1 + \frac{4}{3}}$$
Hasil dari $b \cdot b^{\frac{1}{2}}$ adalah...
- b^{\frac{3}{2}}
- b^{\frac{1}{2}}
- b^{\frac{1}{3}}
- b^2
Jawaban: b^{\frac{3}{2}}
Variabel b tanpa eksponen tertulis memiliki pangkat tersembunyi 1 (b = b^1). Berdasarkan sifat perkalian basis yang sama, eksponen dijumlahkan: 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, sehingga hasilnya b^{\frac{3}{2}}. Opsi B salah karena mengabaikan variabel b di depan. Opsi C salah karena mengalikan pembilang dan penyebut sembarangan. Opsi D salah karena menganggap pangkat pecahan \frac{1}{2} bernilai 1.
Variabel tanpa pangkat eksplisit bernilai pangkat 1 saat dikalikan dengan basis yang sama.
Menuntaskan Pecahan
Untuk menyamakan pangkat di kedua ruas persamaan, seluruh operasi pada satu ruas harus diselesaikan lebih dulu. Dari langkah sebelumnya, ruas kiri menyisakan operasi penjumlahan eksponen: $1 + \frac{4}{3}$.
Agar dua bilangan pecahan dapat dijumlahkan, kita samakan penyebutnya terlebih dahulu. Angka bulat $1$ diubah menjadi bentuk pecahan $\frac{3}{3}$:
$$1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$$
Dengan demikian, bentuk ruas kiri yang telah disederhanakan sepenuhnya adalah $a^{\frac{7}{3}}$. Persamaan awal kini menjadi:
$$a^{\frac{7}{3}} = a^k$$
Karena kedua ruas memiliki basis yang sama (yaitu $a$, dengan premis $a$ adalah bilangan bulat positif), kedua nilai eksponen harus setara. Kita peroleh nilai $k = \frac{7}{3}$, yang sesuai dengan Opsi E.