Eksponen dan Pembuktian Pecahan Bersusun

Aksioma Pangkat

Pangkat pecahan dan negatif dapat diselesaikan dengan memecah basis ke bilangan prima terkecil.

Pada ekspresi $\frac{a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{-\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{4}}}$ dengan nilai $a = 8$ dan $b = 81$, langkah awal yang paling alami adalah menguraikan basis ke bentuk basis prima. Bilangan $8$ diubah menjadi $2^3$ dan $81$ diubah menjadi $3^4$. Melalui sifat eksponen $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, setiap pangkat pecahan langsung tereduksi secara sederhana:

Pembilang:
$$(2^3)^{\frac{2}{3}} \cdot (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 3^{4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} = 2^2 \cdot 3^{-3} = 4 \cdot \frac{1}{27} = \frac{4}{27}$$
Penyebut:
$$(2^3)^{\frac{1}{3}} + (3^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} + 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$$

Dengan langkah ini, bentuk eksponen yang awalnya rumit langsung menyusut menjadi pembagian dua bilangan: $\frac{4}{27}$ dibagi $5$.

Membuktikan Pembagian Pecahan

Membagi pecahan dengan bilangan bulat berarti mengalikan penyebut pecahan tersebut dengan bilangan bulat itu.

Saat berhadapan dengan pecahan bersusun seperti $\frac{\frac{4}{27}}{5}$, godaan paling umum adalah langsung "menaikkan" angka $5$ ke atas menjadi $\frac{4 \cdot 5}{27} = \frac{20}{27}$. Agar tidak terjebak tebak-tebakan posisi, kita bisa membuktikannya secara deduktif menggunakan prinsip kesetaraan aljabar.

Bagan alur pembuktian deduktif aljabar untuk pembagian pecahan bersusun empat per dua puluh tujuh dibagi lima.

Misalkan hasil pembagian tersebut adalah suatu nilai $x$:

$$x = \frac{\frac{4}{27}}{5}$$

Mari kita selesaikan persamaan ini langkah demi langkah:

Kalikan kedua ruas dengan $5$ untuk melepas pembagi utama:
$$5x = \frac{4}{27}$$
Kalikan kedua ruas dengan $27$ untuk menghilangkan penyebut pecahan:
$$135x = 4$$
Bagi kedua ruas dengan $135$ untuk memperoleh nilai $x$:
$$x = \frac{4}{135}$$

Pembuktian ini menunjukkan dengan gamblang bahwa membagi $\frac{4}{27}$ dengan $5$ sama dengan mengalikan penyebut $27$ dengan $5$, bukan mengalikan pembilang $4$.

Berdasarkan pembuktian aljabar sebelumnya, berapakah hasil dari $\frac{\frac{3}{8}}{4}$?

$\frac{3}{32}$
$\frac{12}{8}$
$\frac{8}{12}$
$\frac{3}{2}$

Jawaban: $\frac{3}{32}$

Misalkan $x = \frac{\frac{3}{8}}{4}$, maka kalikan kedua ruas dengan $4$ menghasilkan $4x = \frac{3}{8}$. Kalikan kedua ruas dengan $8$ menghasilkan $32x = 3$, sehingga $x = \frac{3}{32}$. Opsi $\frac{12}{8}$ dan $\frac{3}{2}$ salah karena keliru menaikkan bilangan $4$ ke pembilang, sedangkan $\frac{8}{12}$ salah membalik posisi pecahan.

Aturan pembagian pecahan bersusun dengan bilangan bulat.

Menyelesaikan Soal Utama

Hasil akhir dari ekspresi eksponen didapat dengan menerapkan aturan pembagian pecahan yang benar.

Dari penyederhanaan pembilang dan penyebut, kita memperoleh bentuk akhir:

$$\frac{\frac{4}{27}}{5} = \frac{4}{27 \cdot 5} = \frac{4}{135}$$

Nilai ini tepat sesuai dengan Opsi A sebagai jawaban yang benar.