Trik Kelipatan dan Beda Mengambil vs Menyusun
Mengambil vs Menyusun Kartu
Mengambil objek sekaligus secara acak tidak memedulikan urutan, namun menyusun objek untuk membentuk nilai memedulikan urutannya.
Bayangkan sebuah kantong berisi $5$ kartu angka: $\{2, 3, 4, 6, 8\}$. Ketika tanganmu merogoh ke dalam kantong dan mengambil $3$ kartu sekaligus dalam satu kepalan tangan, kartu-kartu itu berkumpul bersamaan. Di dalam genggaman tanganmu, kartu $(2, 3, 4)$ memiliki nilai kelompok yang sama persis dengan kartu $(4, 3, 2)$. Karena urutan pengambilan tidak berpengaruh, kejadian ini disebut Kombinasi. Ruang Sampel total pengambilannya dihitung dengan memilih $3$ kartu dari $5$ kartu yang tersedia:
$$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = 10 \text{ kemungkinan}$$
Dalam sebuah kotak undian, terdapat 6 bola dengan nomor berbeda. Doni mengambil 2 bola sekaligus dengan satu kepalan tangan. Bagaimana cara terbaik menghitung banyak kemungkinan bola yang ada di tangan Doni?
- Gunakan perhitungan kombinasi karena urutan bola pertama dan kedua di tangan tidak bisa dibedakan.
- Gunakan perhitungan permutasi karena posisi bola menentukan hasil pengundian secara spesifik.
- Kalikan 6 dengan 6 karena bola bernomor sama bisa terambil dua kali dalam pengambilan bertahap.
- Jumlahkan saja 6 ditambah 2 untuk mencari seluruh kemungkinan pasangan bola yang terambil.
Jawaban: Gunakan perhitungan kombinasi karena urutan bola pertama dan kedua di tangan tidak bisa dibedakan.
Kata kunci 'mengambil sekaligus dengan satu kepalan tangan' berarti objek terambil secara bersamaan. Di dalam genggaman, urutan bola tidak memiliki makna posisi atau peringkat (kombinasi). Permutasi hanya dipakai jika urutan pengambilan atau posisi bola dibedakan (misal diambil satu per satu berurutan). Opsi perkalian 6 x 6 salah karena pengambilan tanpa pengembalian, dan opsi penjumlahan 6 + 2 tidak merepresentasikan pencacahan pasangan sampel.
Pengambilan benda secara sekaligus merupakan kejadian kombinasi tanpa urutan.
Menyusun Angka Terbesar
Untuk mengecek bilangan ekstrem, cukup ambil tiga kartu terbesar atau terkecil dan urutkan posisinya dengan benar.
Pernyataan (1) dan (2) pada soal menanyakan susunan kartu di meja:
Bilangan terkecil: Untuk membuat bilangan ratusan paling kecil tanpa pengulangan, pilihlah tiga kartu dengan nilai terkecil dari himpunan $S$, yaitu $2, 3,$ dan $4$. Susun dari digit terkecil di tempat ratusan, sehingga menghasilkan bilangan $234$. Karena Pernyataan (1) menyebutkan $236$, maka Pernyataan (1) bernilai salah.
Selisih terbesar antara dua bilangan: Selisih paling besar selalu dihasilkan dari pengurangan bilangan maksimum dengan bilangan minimum. Bilangan maksimum dibentuk dari tiga kartu terbesar, yaitu $8, 6,$ dan $4$, yang dijejerkan menjadi $864$. Sementara itu, bilangan minimumnya sudah kita peroleh, yakni $234$.
$$\text{Selisih terbesar} = 864 - 234 = 630$$
Trik Cepat Cek Kelipatan
Kebenaran sebuah kelipatan hasil kali cukup dilihat dengan mencari keberadaan faktor pembaginya di himpunan asal, tanpa mengalikan semua angka.
Pernyataan (3) menguji peluang bahwa hasil kali ketiga kartu terambil merupakan kelipatan $12$. Mengalikan satu per satu pasangan dari $10$ kombinasi kartu tentu menghabiskan waktu ujian. Kita bisa memakai analisis Faktor:
Sebuah hasil perkalian menjadi kelipatan $12$ jika memuat faktor pembentuk $12$, yaitu minimal mengandung satu faktor $3$ dan faktor $4$ (atau dua buah angka genap). Di dalam himpunan $\{2, 3, 4, 6, 8\}$, satu-satunya kartu yang membawa sifat kelipatan $3$ adalah kartu bernomor $3$ dan $6$.
Dari seluruh $10$ kombinasi yang mungkin di Ruang Sampel, hanya ada tepat $1$ kombinasi yang membuang angka $3$ dan $6$ sekaligus, yaitu kombinasi kartu $(2, 4, 8)$ dengan hasil kali $2 \times 4 \times 8 = 64$ (bukan kelipatan $12$). Sisa $9$ kombinasi lainnya dipastikan memuat minimal salah satu dari angka $3$ atau $6$, dan karena semua sisa anggotanya genap, hasil kalinya pasti kelipatan $12$. Peluang yang benar adalah $\frac{9}{10}$, membuktikan bahwa Pernyataan (3) yang menyatakan $\frac{4}{5}$ bernilai salah.
Dalam sebuah permainan, kita ingin mengecek apakah hasil kali dari 3 angka yang ditarik acak akan selalu bisa dibagi 10. Cara tercepat memastikan hasil kalinya kelipatan 10 tanpa mengalikan bilangannya adalah mencari...
- Mengalikan seluruh angka di kepala lalu mencoba membaginya dengan angka 10 satu per satu.
- Keberadaan minimal satu kartu kelipatan 5 dan satu kartu genap dalam tarikan tersebut.
- Memastikan bahwa salah satu dari kartu yang ditarik tersebut harus persis berangka 10.
- Memastikan bahwa semua kartu yang tertarik merupakan angka yang bernilai bilangan genap.
Jawaban: Keberadaan minimal satu kartu kelipatan 5 dan satu kartu genap dalam tarikan tersebut.
Angka 10 tersusun dari faktor prima 2 dan 5. Untuk memastikan hasil kali tiga bilangan merupakan kelipatan 10, kita hanya perlu mengecek apakah kelompok kartu tersebut memiliki faktor 5 (kartu kelipatan 5) dan faktor 2 (kartu genap). Mengalikan semua angka memakan waktu lama, kartu tidak harus bernilai 10 langsung, dan sekadar memastikan semua kartu genap tidak mencukupi tanpa adanya faktor 5.
Sifat kelipatan bilangan dapat diketahui cepat lewat keberadaan angka faktornya saja.