Ekspansi Binomial: Mencari Koefisien

Struktur Perkalian Polinomial

Mengalikan polinomial pada dasarnya adalah menjumlahkan semua kemungkinan kombinasi perkalian satu suku dari tiap kurung. Saat kita melakukan ekspansi aljabar pada bentuk dasar seperti $(a+b)(c+d)$, sifat distributif bekerja dengan memasangkan setiap elemen di faktor pertama ke setiap elemen di faktor kedua.

Diagram pohon percabangan perkalian aljabar dua kurung a+b c+d menghasilkan ac, ad, bc, bd

Bayangkan proses ini seperti memilih rute perjalanan: di persimpangan pertama (kurung pertama), kita bisa memilih jalan $a$ atau jalan $b$. Setelah itu, di persimpangan kedua (kurung kedua), masing-masing jalan bercabang lagi menuju $c$ atau $d$. Total seluruh jalan yang mungkin kita lalui adalah $ac$, $ad$, $bc$, dan $bd$.

Lalu, bagaimana jika sebuah kurung memiliki pengulangan pangkat tinggi seperti $(x+1)^3$? Mengalikannya satu demi satu tentu memakan waktu. Untungnya, matematika menyediakan struktur teratur untuk melompat langsung ke bentuk penjabarannya.

Pola Teorema Binomial

Penjabaran dari $(x+y)^n$ selalu menghasilkan pola koefisien yang simetris dan terprediksi berkat Teorema Binomial. Koefisien pada setiap suku ekspansi ini mengikuti baris-baris teratur yang tersusun dalam Segitiga Pascal.

Segitiga Pascal baris 0 hingga 3 dengan baris 3 disorot membentuk koefisien 1, 3, 3, 1

Untuk ekspansi berderajat 3, baris Segitiga Pascal memberikan pola koefisien $1, 3, 3, 1$. Ketika diterapkan pada $(x+1)^3$ dengan komponen kedua bernilai $1$, penjabarannya terurai secara sistematis:

$$(x+1)^3 = 1x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1(1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$$

Menguasai pola binomial derajat 2 dan 3 membantu kita mengekspansi faktor berpangkat secara instan tanpa harus mengalikan kurung berulang kali.

Berapakah koefisien dari variabel $x^2$ pada penjabaran $(x+2)^3$?

  • 6
  • 3
  • 2
  • 1

Jawaban: 6

Berdasarkan Teorema Binomial, suku dengan variabel $x^2$ pada ekspansi $(x+2)^3$ adalah $3 \cdot (x)^2 \cdot (2)^1 = 6x^2$, sehingga koefisiennya adalah 6. Pengecoh 3 lupa mengalikan dengan angka 2; pengecoh 2 hanya mengambil angka di dalam kurung; dan pengecoh 1 mengabaikan pola binomial.

Mengetahui koefisien ekspansi binomial pangkat 3

Prinsip Ekspansi Selektif

Untuk mencari koefisien suku berderajat $n$, kita hanya perlu mengalikan pasangan suku antar-faktor yang jumlah pangkat variabelnya persis sama dengan $n$. Kita tidak perlu melakukan ekspansi aljabar penuh untuk suku-suku berderajat lain yang tidak ditanyakan.

Bentuk fungsi pada masalah tangki kapal telah disederhanakan menjadi perkalian dua kelompok faktor:

$$P(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1)(x - 2)$$

Target kita adalah mengumpulkan semua suku yang menghasilkan variabel berderajat 3 ($x^3$).

Diagram perkalian selektif antara x³ + 3x² + 3x + 1 dan x - 2 yang hanya menyorot pembentukan pangkat 3

Kembali ke analogi rute perjalanan, kita hanya mencari kombinasi persimpangan yang total penjumlahan pangkatnya sama dengan 3:

  1. Jika kita mengambil suku $x$ (pangkat 1) dari kurung kedua, kurung pertama harus menyumbang suku berpangkat 2 ($3 - 1 = 2$). Pasangannya adalah $3x^2$, menghasilkan:

    $$(3x^2) \cdot (x) = 3x^3$$

  2. Jika kita mengambil konstanta $-2$ (pangkat 0) dari kurung kedua, kurung pertama harus menyumbang suku berpangkat 3 ($3 - 0 = 3$). Pasangannya adalah $x^3$, menghasilkan:

    $$(x^3) \cdot (-2) = -2x^3$$

Menjumlahkan kedua rute pembentuk derajat 3 ini memberikan $3x^3 + (-2x^3) = 1x^3$. Nilai koefisien akhir yang diperoleh adalah $1$, yang membuktikan mengapa Opsi C merupakan jawaban yang benar.