Barisan Geometri: Bongkar Pola Tanpa Pusing Rumus

Melihat Lompatan Rasio

Rasio adalah faktor pengganda; pembagian dua suku berjarak menunjukkan berapa kali faktor itu dilipatgandakan.

Dalam barisan geometri, perubahan nilai dari satu suku ke suku berikutnya selalu terjadi melalui perkalian dengan faktor tetap yang disebut rasio ($r$). Kita bisa membayangkannya seperti susunan balok: setiap melangkah satu kali ke kanan, tinggi balok dilipatgandakan sebesar $r$.

Pada soal, kita mengetahui suku ke-2 ($U_2 = 10$) dan suku ke-5 ($U_5 = 80$). Dari langkah ke-2 menuju langkah ke-5 terdapat selisih $5 - 2 = 3$ langkah lompatan. Artinya, nilai awal pada $U_2$ telah dikalikan dengan rasio sebanyak $3$ kali berturut-turut ($r \times r \times r = r^3$):

$$\frac{U_5}{U_2} = \frac{80}{10} = 8$$

Karena $r^3 = 8$, nilai $r$ yang memenuhi adalah $\sqrt[3]{8} = 2$. Dari perbandingan lompatan ini, kita membuktikan bahwa Opsi A (Rasio barisan tersebut adalah $2$) bernilai benar.

Mundur Mencari Suku Pertama

Jika maju artinya dikali rasio, maka mundur satu langkah artinya dibagi rasio.

Ketika bergerak maju (ke kanan), tinggi susunan balok dikalikan dengan rasio $2$. Sebaliknya, jika kita ingin mencari suku sebelumnya (mundur ke kiri), operasi yang digunakan adalah kebalikannya, yaitu pembagian dengan rasio.

Diagram dua balok berdampingan U1 dan U2 dengan panah maju bertuliskan kali 2 dan panah mundur bertuliskan bagi 2.

Untuk menemukan suku pertama ($a$ atau $U_1$), kita cukup melangkah mundur satu kali dari suku ke-2 ($U_2 = 10$):

$$U_1 = \frac{U_2}{r} = \frac{10}{2} = 5$$

Jadi, tinggi balok awal adalah $5$. Temuan ini menjelaskan mengapa Opsi B (Suku pertama barisan tersebut adalah $4$) bernilai salah. Jika suku pertama bernilai $4$, maka dengan rasio $2$ suku keduanya seharusnya bernilai $4 \times 2 = 8$, bukan $10$.

Sebuah barisan geometri memiliki rasio $3$. Jika nilai suku ke-4 adalah $54$, berapakah nilai suku ke-3 barisan tersebut?

  • 17
  • 18
  • 51
  • 162

Jawaban: 18

Mundur satu langkah dari suku ke-4 ($U_4 = 54$) menuju suku ke-3 ($U_3$) berarti membagi nilainya dengan rasio ($r = 3$). Jadi, $U_3 = \frac{54}{3} = 18$. Opsi A (17) timbul dari kekeliruan perhitungan pembagian, Opsi C (51) terjadi jika suku dikurangi rasionya ($54 - 3$), dan Opsi D (162) keliru karena justru mengalikan nilai suku ($54 \times 3$) yang merupakan langkah maju ke suku ke-5.

Mencari suku sebelumnya menggunakan operasi pembagian dengan rasio.

Membongkar Rumus Suku ke-n

Rumus suku ke-n adalah instruksi matematis untuk memulai dari a, lalu mengalikan r sebanyak n-1 kali.

Formula umum suku ke-$n$ barisan geometri, $U_n = a \cdot r^{n-1}$, bukanlah hafalan rumus yang kaku, melainkan urutan instruksi langkah demi langkah:

  1. Mulai dari susunan balok pertama dengan tinggi $a$.

  2. Kalikan dengan rasio pengganda $r$ sebanyak $(n - 1)$ kali lompatan.

Mengapa pangkatnya $(n - 1)$ dan bukan $n$? Karena pada langkah pertama ($U_1$), kita sudah berada di tempat awal sehingga belum ada lompatan perkalian rasio yang terjadi ($r^0 = 1$).

Diagram pembedahan struktur rumus Un = 5 kali 2 pangkat n-1 dengan penunjuk keterangan komponen rumus.

Dengan memasukkan nilai suku awal $a = 5$ dan rasio $r = 2$ yang telah kita peroleh:

$$U_n = 5 \cdot 2^{n-1}$$

Dengan demikian, pernyataan pada Opsi C (Rumus suku ke-n adalah $U_n = 5 \cdot 2^{n-1}$) terbukti benar. Pola pemodelan dengan mencari suku awal dan rasio ini juga sering digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi biologis atau peluruhan zat radioaktif.