Membongkar Persamaan Gelombang Kosinus

Titik Tengah dan Simpangan

Komponen utama persamaan gelombang didapat dari nilai tengah dan simpangannya, bukan langsung dari nilai tertinggi dan terendahnya.

Menyusun persamaan gelombang sangat mirip dengan membaca catatan suhu harian. Saat kamu mendengar bahwa suhu suatu kota berada di antara $3^\circ\text{C}$ dan $-1^\circ\text{C}$, angka yang langsung terbayang di pikiranmu bukanlah sekadar titik dingin atau panasnya, melainkan suhu rata-ratanya sepanjang hari dan seberapa jauh suhunya berayun dari rata-rata tersebut.

Begitu pula pada gelombang matematika: dua nilai terpenting yang dicari terlebih dahulu adalah garis tengah (posisi seimbang gelombang) dan amplitudo (jarak simpangan terjauh dari garis tengah).

Dari data soal, grafik memiliki nilai maksimum $3$ dan nilai minimum $-1$:

1. Garis tengah ($d$) diperoleh dari nilai rata-rata antara puncak dan dasar:

   $$d = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

2. Amplitudo ($A$) adalah jarak dari garis tengah menuju titik puncak, atau setengah dari selisih puncak dan lembah:

   $$A = \frac{3 - (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Menyusun Kerangka Persamaan

Amplitudo menjadi koefisien pengali fungsi, dan garis tengah menjadi konstanta penambah di akhir persamaan.

Kerangka umum fungsi kosinus tanpa pergeseran horizontal dituliskan sebagai:

$$y = A \cos(...) + d$$

Angka pengali di depan fungsi mewakili amplitudo ($A$), yang mengatur seberapa tinggi gelombang meregang ke atas dan ke bawah. Sementara itu, konstanta di bagian belakang mewakili garis tengah ($d$), yang menggeser seluruh gelombang secara vertikal dari sumbu horizontal standar.

Dengan nilai yang telah kita temukan sebelumnya, yaitu $A = 2$ dan $d = 1$, kerangka persamaannya menjadi:

$$y = 2 \cos(...) + 1$$

Menerjemahkan Periode

Nilai periode tidak langsung dimasukkan ke persamaan, melainkan digunakan untuk mencari koefisien frekuensi ($k$).

Panjang fisik satu gelombang disebut periode ($P$). Gelombang kosinus dasar $\cos(x)$ membutuhkan rentang sejauh $2\pi$ untuk berputar satu putaran penuh. Apabila di dalam tanda kurung disisipkan pengali $k$, fungsi berubah menjadi $\cos(kx)$. Pengali $k$ ini dinamakan koefisien frekuensi, yang menentukan seberapa cepat siklus tersebut berputar dibanding putaran standar:

$$P = \frac{2\pi}{k} \iff k = \frac{2\pi}{P}$$

Soal menyatakan bahwa grafik menyelesaikan satu periode penuh saat $x$ bergerak dari $0$ ke $\pi$. Artinya, periode fungsi adalah $P = \pi$. Kita cari nilai $k$ dengan memasukkan nilai $P$ ke rumus:

$$\pi = \frac{2\pi}{k} \implies k = \frac{2\pi}{\pi} = 2$$