Nilai Minimum Aljabar: Deduksi Kuadrat

Ekspansi dan Pengelompokan Variabel

Ketaksamaan kuadrat sempurna dapat diekspansi untuk memisahkan suku kuadrat dan suku campuran.

Aksioma dasar bilangan real menyatakan bahwa hasil kali bilangan real dengan dirinya sendiri tidak pernah negatif. Untuk sembarang bilangan real $x$ dan $y$, selisih keduanya $(x - y)$ juga merupakan bilangan real. Maka, bentuk kuadrat sempurna selalu memenuhi:

$$(x - y)^2 \ge 0$$

Jika kita jabarkan ruas kiri, kita memecah bentuk tersebut menjadi suku-suku penyusunnya:

$$x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$$

Bayangkan ketaksamaan ini sebagai sebuah timbangan aljabar. Kedua piringan timbangan berada dalam kondisi stabil jika kita memperlakukan kedua sisi secara adil. Jika kita menambahkan suku $+2xy$ pada kedua ruas, keseimbangan tidak berubah:

$$x^2 + y^2 \ge 2xy$$

Deduksi aljabar ini menghasilkan prinsip fundamental: jumlah kuadrat dari dua bilangan real tidak pernah lebih kecil daripada dua kali hasil kali kedua bilangan tersebut.

Sebagai ilustrasi, mari uji dengan nilai konkret $x = 3$ dan $y = 5$:

• Ruas kiri: $x^2 + y^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$

• Ruas kanan: $2xy = 2(3)(5) = 30$

• Terbukti bahwa $34 \ge 30$, dengan selisih tepat sebesar $(3 - 5)^2 = (-2)^2 = 4 \ge 0$.

Membentuk Pecahan Rasional

Membagi kedua ruas ketaksamaan dengan variabel positif akan mempertahankan arah tanda ketaksamaan.

Dari hubungan timbangan aljabar pada halaman sebelumnya, kita telah memvalidasi fakta bahwa:

$$x^2 + y^2 \ge 2xy$$

Tujuan kita adalah memunculkan ekspresi pecahan $\frac{x^2 + y^2}{xy}$. Pada operasi aljabar biasa, pembagian dengan variabel memerlukan kehati-hatian tinggi karena tanda bilangan menentukan arah relasi pertidaksamaan. Beruntung, soal menetapkan premis bahwa $x$ dan $y$ berstatus bilangan real positif ($x > 0, y > 0$). Konsekuensinya, hasil kali $xy$ sudah dipastikan bertanda positif ($xy > 0$).

Ketika kedua piringan pada timbangan aljabar dibagi dengan besaran positif $xy$, arah tanda ketaksamaan tidak mengalami pembalikan:

$$\frac{x^2 + y^2}{xy} \ge \frac{2xy}{xy}$$

$$\frac{x^2 + y^2}{xy} \ge 2$$

Pertidaksamaan ini memberikan kesimpulan langsung bahwa batas nilai terkecil (nilai minimum) dari ekspresi $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ adalah $2$. Nilai minimum ini tercapai ketika timbangan berada pada posisi seimbang sempurna, yakni saat $(x - y)^2 = 0 \iff x = y$. Oleh sebab itu, Opsi C adalah jawaban yang benar.

Perspektif Alternatif: Sifat Resiprokal

Bentuk pecahan rasional dapat dipisah menjadi penjumlahan suatu bilangan dengan resiprokalnya.

Ekspresi pecahan $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ memiliki sifat simetris dan dapat kita pecah menjadi dua suku terpisah:

$$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$$

Misalkan kita mendefinisikan rasio $\frac{x}{y}$ sebagai satu variabel tunggal $t$. Karena $x > 0$ dan $y > 0$, maka rasio $t$ harus bernilai positif ($t > 0$). Suku kedua, $\frac{y}{x}$, tidak lain adalah resiprokal (kebalikan) dari $t$, yaitu $\frac{1}{t}$. Dengan demikian, ekspresi tersebut berubah wujud menjadi penjumlahan:

$$t + \frac{1}{t}$$

Karena kita telah menurunkan secara formal bahwa ekspresi awal selalu $\ge 2$, maka sifat universal ini berlaku: untuk setiap bilangan real positif $t$, jumlah $t + \frac{1}{t}$ selalu lebih besar atau sama dengan $2$.

Kurva $f(t) = t + \frac{1}{t}$ di atas menunjukkan teka-teki aljabar yang menarik:

• Jika kita memilih $t$ yang sangat besar, misalnya $t = 10$, maka $t + \frac{1}{t} = 10 + 0{,}1 = 10{,}1$ (jauh di atas $2$).

• Jika kita memilih $t$ yang sangat kecil mendekati nol, misalnya $t = 0{,}1$, suku resiprokalnya justru meledak besar: $0{,}1 + 10 = 10{,}1$.

Kedua suku saling mengimbangi sehingga nilai minimum mutlak kurva ini berada di titik dasar lembah, tepat ketika $t = 1$, yaitu $1 + \frac{1}{1} = 2$.